关于“因数和倍数”概念的教学内容，新教材的编排发生了很大变化。以往的教材往往通过算式分类抽取出a÷b=c（a、b、c都是自然数，b≠0）来揭示概念。也就是说，因数和倍数概念的表述由原来的定义式变为了描述式，那么，这种概念表述方式的转变隐含着什么？如何有效开展描述式概念的教学？下面笔者结合相关的教学实践来探索一些有效的教学途径。
　　一、借助直观，让学生经历从“数学描述”到“合理定义”的概念形成过程
　　在整个小学阶段，由于数学概念抽象性与学生思维形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实例或已有知识经验出发，尽可能通过直观具体的形象帮助学生认识概念的本质属性。因此，在教学中借助几何直观能帮助学生更好地理解、掌握数学概念。
　　例如，“因数和倍数”一课的教学，人教版教材提供了2行飞机、每行6架的直观图，北师大版提供了学生所熟悉的购买水果情境，苏教版、现代小学数学、新思维数学都采用了小方块摆长方形的直观图。显然，各版本教材都在明确告诉教师，因数和倍数概念的建立需要借助直观图形。可因数、倍数概念本身似乎与形结合得并不紧密，因此，直观摆图后告知学生概念和直接告知学生概念有什么区别呢？直观图无非引出整数相乘的乘式，而五年级的学生完全具备直接从乘式发现整除特性的能力，直接告知概念有何不可？
　　基于这样的困惑，笔者实施了不同的概念引入环节。
　　【设计一】
　　1.出示三个数5、7、10，你觉得哪两个数中存在倍数关系？
　　2.为什么认为10和5之间存在倍数关系？你是怎么想的？
　　3.看来同学们认定的倍数关系指的是两个整数成整数倍关系。我们以前认识的“倍”可以是小数倍也可以是整数倍。“倍”和“整数倍”，谁的范围更大？
　　4.我们今天研究的就是这种范围小小的“整数倍”关系——因数和倍数关系。我们可以说，10是5的倍数，5是10的因数。
　　5.加一个数“30”变成四个数：5、7、10、30。现在谁是谁的因数，谁是谁的倍数？
　　6.看来乘法式子中可以找到这种关系。你能从哪个式子里发现因数倍数关系？
　　12÷2=6 3×4=12 12÷5=2.4
　　【设计二】
　　1.12个正方形拼摆长方形，能不能用一个简单的乘式表达？
　　2.猜猜看，他想的是每排摆几个，摆几排？还有吗？能摆5排吗？
　　3.我们只研究整个图形的拼摆，也就是说这节课只研究整数之间的关系。在这样简单的整数之间、图形之中蕴含着一种我们到现在都没学过的关系。以2×6=12为例，因为2×6=12，所以2是12的因数，那么6也是（12的因数）。反过来，12是2的倍数，12也是（6的倍数）。这两个式子蕴涵的因数和倍数关系，请你和同桌说一说。
　　4.你发现12有几个因数？刚才用12个小正方形摆出了几种长方形？得到了几个乘式？试试2，想象出2个小正方形摆成怎样的长方形了吗？你想到的式子是哪个？它的因数有哪些？1呢？它有几个因数？0呢？0个正方形去摆放没有意义，数学家也觉得没什么意义，就把0划出了因数和倍数的研究范围（不包括0）。
　　【思考】
　　设计一中，直接给予一个乘式引出因数和倍数的概念，而且硬性规定因数和倍数只研究整数且不包括0，学生对概念的感知是浅层的，仅停留在记忆层面。而设计二多了形的支撑，比如学生看到3，脑海中能出现3个小正方形摆成长方形，发现只有一种摆法，它的两个因数是1和3。学生还形象地理解了1为什么只有1个因数，研究因数和倍数为什么不包括0。直观表象有助于概念形成，学生印象深刻。
　　借助直观，就能将学生形成数学概念的过程变为在问题情境中尝试、操作、思考、分析的过程，学生就能经历从“数学描述”到“合理定义”的概念形成过程，从单纯地用数学语言描述一个概念到较为完整地定义一个概念，学生对概念的认识初步到位。
　　二、依托反例，让学生经历从“认知混乱”到“清晰界定”的概念同化（顺应）过程
　　很多数学概念都是前后相连的，概念之间往往还会互相干扰，形成负迁移。比如“因数和倍数”的教学，此“因数”非四则运算中的因数，此“倍数”又不同于学生在二年级时就已经认识的“倍”。笔者在借鉴他人实验的基础上进行课前测试。
　　1.试着选择有因数和倍数关系的式子：
　　（1）12÷0.4=30（66.67%）
　　（2）28÷7=4（76.92%）
　　（3）32÷5=6……2（10.26%）
　　（4）1.8÷0.9=2（69.23%）
　　（5）0.5×24=12（35.90%）
　　以上题目全做对的有15.38%。
　　2.你听说过“因数”和“倍数”吗？请试着举例。
　　学生中比较典型的回答有：30÷5=6，5是倍数，倍数就是除法中的商。4×6=24，4和6都是因数。45是9的倍数，3.5是0.5的倍数。
　　可以发现，学生对因数和倍数的名称并不陌生，而且受到了前认知的干扰。那么如何弱化这种干扰？于是，笔者又尝试了不同的教学。
　　【设计一】
　　采用规避法。在因数和倍数概念的教学中不出现如0.5×24=12这样的题目，不让学生辨析，避免新知接触，造成混乱。于是，课堂教学一路顺风，学生没遇到什么问题，也能在练习环节完成多层次的常规习题。
　　【设计二】以例规例，在错误辨析中深化概念。
　　师：看来，同学们对因数和倍数关系已经有了一定的认识，那我们来判断几组关于因数、倍数的描述。（屏幕显示：12是24的因数）
　　生：对。
　　师：你能猜到他想的是什么算式吗？
　　生：他想的是12×2＝24。 　　师：根据这个算式我们还能得到什么信息？
　　生：24是12的倍数。
　　生：2是24的因数，24是2的倍数。
　　屏幕显示：0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.8的因数。
　　生：对。
　　生：错。
　　师：意见不统一了。你为什么认为错呢？
　　生：因为0.9和1.8是小数，因数和倍数只研究0以外的整数，不研究小数。
　　师：是的。就是这个原因，这句话是错的。可是，刚才为什么会有那么多同学认为是对的呢？能不能说说你是怎么想的？
　　生：因为1.8是0.9的2倍。
　　师：1.8是0.9的2倍，这是我们很早就认识的几倍关系。这个几倍关系和我们今天认识的倍数关系一样吗？
　　生：几倍，可以是小数倍，也可以是整数倍。而今天学习的因数和倍数关系是整数倍关系。
　　师：对，当整数之间存在整数倍关系时，才有了因数和倍数关系。同学们，正是由于刚才一部分同学的错误，让我们回忆起了以前的几倍关系，知道了“几倍”和“倍数”的不同，进一步清晰了因数和倍数关系的研究范围，这就是错误带来的思考。
　　屏幕显示：18是倍数。
　　生：错。没有说清楚18是谁的倍数。
　　师：18会是谁的倍数呢？
　　生：3、6。
　　师：反过来，3和6都是18的因数。18的因数还有几？
　　【思考】
　　设计一中，为避免出错，规避了小数的出现，课堂看似很顺利，实则不利于学生概念的建立，本质上并未真正理解因数和倍数概念。设计二中，在已初步形成概念的前提下，教师依托反例“0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.8的因数”“18是倍数”让学生自己去比较、去发现、去辨析，以例规例，真正把握概念的特征，最终清晰界定概念，完整地经历概念的同化过程。
　　三、运用疏联，让学生经历从“理解掌握”到“巩固拓展”的概念内化（同化）过程
　　概念之间都是相互联系的，理解概念是从感性认识上升到理性认识的过程，即从个别的事例总结出一般性的规律。巩固拓展概念，则是抓住概念间的联系有效疏通并加以灵活运用的过程，教师可让学生多联想、多角度思考，使概念在理解的基础上被反复感知、反复回忆，从而拓展内化。
　　【教学设计】
　　师：给你一个式子3×7=21。你能想到什么？
　　生：3和7是21的因数，21是3和7的倍数。
　　生：21的因数还有1、21。
　　师：真能干，继续想，还能想到什么？
　　生：3的7倍是21，3的倍数的个数是无限的。
　　师：3最小的倍数是几？
　　生：3最小的倍数是本身，没有最大的倍数。
　　生：7最小的倍数是本身，没有最大的倍数。
　　生：3和7的因数都只有2个，都是1和本身。
　　师：10里面还有这样的数吗？
　　生：还有2、5。
　　师：20里面呢？
　　生：11。
　　生：13、15、17、19。
　　生：15不是的。15的因数有4个。
　　师：是的。20以内只有两个因数的数是2、3、5、7、11、13、17、19。
　　【思考】
　　通过一个式子，让学生从小例子中看到了大概念，从不断地“还能想到什么”中逐步发现具有特点的一类数据，概念也随之不断被内化。但凡概念课，往往知识点较多，且相互穿插。因此，教师既要全面巩固基本知识点，又要对学习难点有效疏联，激发想象，拓展延伸。
　　总之，教师在概念教学中，尤其是描述式概念教学中，要多借助直观的例子帮助学生形成概念，依托反例来同化概念，再通过疏通相关概念间的联系，展开多层联想来内化概念，最终使得还停留在直观形象思维阶段的学生在理解抽象概念的时候，借助丰富的感性材料经历概念的形成、同化、内化（顺应）的过程，从而全面深刻地掌握描述式概念。
　　（浙江省奉化市实验小学 315500）