摘要：高等数学中利用重要极限求解函数极限是高等数学中一个很重要的教学内容，也是学生在求解极限问题是必须要很好掌握的技巧。本注记通过具体的例子说明指出对教师和学生在利用此重要极限时不经意就容易犯下的错误。
　　【中图分类号】O174
　　众所周知函数 当x→0时的极限等于1，这就是《高等数学》教材中俗称两个重要极限中的一个：
　　为更好地使学习者利用这个重要极限公式进行求解一些复杂函数的极限，许多参考资料将这个重要极限公式概述为下面的命题A。
　　命题A：若x→□时，f（x）→0，则 。
　　经过这样归纳整理，命题A可以为运用重要极限 求解繁杂函数极限问题时带来极大的方便。但是，必须指出的是上面的命题A是有瑕疵的，并不严格成立。下面给出一个例子。
　　例 讨论极限 。
　　分析：显然，x→0时，xsin →0，如果命题A是正确的话，则由该命题可得
　　但是，必须指出的是此极限并不存在。事实上，由函数极限的定义可知：
　　，当0<|x-x0|<δ时，有|g（x）-A|<ε.
　　由此可知：要使得g（x）在点x0处极限存在，则必须存在某个正数δ，使得g（x）在x0的δ去心邻域内的每一点都有定义。 就函数g（x）：= 而言，对任意给定的δ>0，在x0=0的δ去心邻域内都能找到无穷数列{xn}，使得函数g（x）的分母f（x）：=xsin 在点xn（n=0，1，2，…）的值均等于0且xn→0（n→+∞）， 例如取
　　.
　　故函数 在数列{xn}中的任一点处均无定义。从而由函数极限的定义知，当x→0时，函数 极限不存在。
　　因此，教学中对重要极限 进行归纳总结给出命题A时，必须特别强调：利用命题A求解极限问题时，要保证函数 在x→□的某个邻域内必须处处有定义。
　　参考文献
　　[1]同济大学数学系编. 高等数学（第六版.上册）[M].北京：高等教育出版社，2007：32