在初中教材中，对二次函数作了研究，限于初中学生实际情况，只要求学生做到1.理解二次函数概念、性质、会画二次函数的图像；2.能确定图像的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及图像与坐标轴的交点坐标；3.掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件，确定二次函数的解析式；4.灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题等，其实学生很难从本质上加以理解。进入高中以后，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
　　一、进一步深入理解函数概念
　　进入高中后，重新学习函数概念，高中主要是用映射观点来阐明函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　类型I：已知f（x）=2x2+x-2，求f（x-1）
　　类型Ⅱ：设f（x-1）=x2+4x+1，求f（x）
　　解此类题一般有两种方法：
　　（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f（x-1）=x2+4x+1=（x-1）2+6（x-1）+6，再用x代x-1得f（x）=x2+6x+6
　　（2）变量代换：它的适应性强，为通用法。
　　令t=x-1，则x=t+1∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）+1=t2+6t+6从而f（x）=x2+6x+6
　　二、二次函数的单调性，最值与图象
　　在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b/2a]及[-b/2a，+∞）上的单调性的结论有清楚的认识，使他们自觉地利用图象学习二次函数有关知识。
　　类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
　　（1）y=|x2+2|
　　（2）y=x2—|x|+1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
　　类型Ⅳ：1：设f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。
　　求：g（t）并画出y=g（t）的图象
　　解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2
　　当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2
　　当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1
　　当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2
　　2：已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[–4，6].
　　（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[–4，6]上是单调函数；
　　（2）当a=1时，求f（|x|）的单调区间。
　　解：（1）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x=–a，所以要使f（x）在[–4，6]上是单调函数，应有–a≤–4或–a≥6，即a≤–6或a≥4。
　　（2）当a=1时，f（x）=x2+2x+3， ∴f（|x|）=x2+2|x|+3，此时定义域为x∈[-6，6]，
　　且f（x）=
　　∴f（|x|）的单调递增区间是（0，6]，
　　单调递增区间是[–6，0]。
　　二次函数的单调性问题则主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解。
　　三、二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的综合应用
　　类型Ⅵ：若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）–f（x）=2x，且f（0）=1。
　　（1）求f（x）的解析式；
　　（2）若在区间[–1，1]上，不等式f（x）>2x+m恒成立，求实数m的取值范围。
　　解：（1）由f（0）=1得，c=1。∴f（x）=ax2+bx+1。
　　又f（x+1）–f（x）=2x，
　　∴a（x+1）2+b（x+1）+1–（ax2+bx+1）=2x，
　　即2ax+a+b=2x
　　因此，f（x）=x2–x+1。
　　（2）f（x）>2x+m等价于x2–x+1>2x+m，即x2-3x+1-m>0，要使此不等式在[-1，1]上恒成立，只需使函数g（x）=x2–3x+1–m在[–1，1]上的最小值大于0即可。
　　∵g（x）=x2–3x+1–m在[–1，1]上单调递减，
　　∴g（x）min=g（1）=–m–1，由–m–1>0得，m<–1。
　　因此满足条件的实数m的取值范围是（–∞，–1）
　　二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体。因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思维的有效方法，用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点。