论文部分内容阅读
【摘 要】车道被占用常常会导致道路通行能力在单位时间内降低，本文通过采集和处理交通事故视频中的数据，建立微分方程模型描述车流运动过程，分析事故发生路段的车辆排队长度与事故横截面实际通行能力、事故持续时间和上游路段车流量之间的关系。最后提出模型的推广和改进，便于更好地估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度。
【关键词】车道被占用；微分方程；排队长度；道路通行能力
背景
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。城市道路通行能力及其影响因素的研究，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案等提供理论依据。2013 年全国大学生数学建模竞赛 A 题中一段时长为27分钟左右的视频描述了一个路段交通事故发生至撤离期间的实际情况，此路段一共有三个车道，交通事故完全占用两个车道，并且路段上游有个相位时间为30秒的交通信号灯。考虑到红绿灯对上游交通流的具有周期性的影响，我们通过采集每30s绿灯和每30s红灯到达事故横截面的各种车型的车辆数，并通过车辆折算系数换算出标准车当量数（pcu），作为研究道路通行能力的原始数据。
二、微分方程模型
用Autocad将路段上游路口地形简化成如图1所示。
车流运动可以近似看作流体，其运行规律满足流体力学定律。所以可以用微分方程描述车流运动过程：
： t时刻路段上游到达事故点横截面的pcu（标准车当量数）
：t时刻路段上游的车辆到达率（每分钟内到达的pcu）
：t时刻事故横截面的车辆通过率（每分钟内通过事故横截面的pcu）
k： 阻塞交通流的密度（每米道路存在的pcu）
L： 交通事故所影响的路段车辆排队长度
通过分析车流量在一小段时间内的变动，建立微分方程。
可知在时间Δt内可以有关系式：
整理可得：
由导数的定义可以得出如下方程：
从而可以得出如下的微分方程：
+＼* MERGEFORMAT ①
交通事故所影响的路段车辆排队长度
三、模型的应用
1、模型的求解
将交通事故期间分为两个时间段讨论：
⑴从视频开始到交通事故发生之前这一段时间，因为这段时间道路畅通无阻，上游路段的车辆到达率都小于或等于事故横截面的车辆通过率，即：
⑵从交通事故发生到事故解决这期间，随时间t变化，设事故发生时刻t=0 min，视频中事故持续时间为十五分钟，则事故结束时刻t=15 min。假设红灯和绿灯时间均为30s，我们取一周期T=60s，通过视频统计出每30s绿灯和每30s红灯到达的标准车当量数（pcu）。结果如下（红灯的省略）：
每30s绿灯到达的标准车当量数
序号 1 2 3 4 5 6 7
时间t的区间（min） 0-0.5 1-1.5 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 6-6.5
绿灯时间的pcu 13.5 14 14.5 10 18.5 17 20.5
8 9 10 11 12 13 14 15
7-7.5 8-8.5 9-9.5 10-10.5 11-11.5 12-12.5 13-13.5 14-14.5
19 20.5 18 21 16.5 16.5 14 16.5
通过视频统计的数据分析，可以发现红灯时间的车辆到达率、绿灯时间车辆到达率以及事故横截面的车辆通过率在很小的范围内波动，因此我们分别采用红灯时间的平均车辆到达率、绿灯时间的平均车辆到达率以及事故横截面的平均车辆通过率进行计算，即：
通过计算可得：
红灯时间平均车辆到达率=2
绿灯时间平均车辆到达率=33
将统计出的数据进行描述性统计分析可得：
事故横截面的平均车辆通过率=17.6
用的分段函数分别表示绿灯时间平均车辆到达率和红灯时间平均车辆到达率，即
=
当t=0时，由视频统计出的数据可得事故发生时刻从路段上游到事故横截面的车辆数（pcu）：
2、得出结果
用微分方程①和上面推算的、可得的解析式如下：
绿灯时间段 红灯时间段
时间t 对应的解析式 时间t 对应的解析式
0-0.5 y=15.4x+16 0.5-1 y=-15.6x+32
1-1.5 y=15.4x 1.5-2 y=-15.6x+48
2-2.5 y=15.4x-16 2.5-3 y=-15.6x+64
3-3.5 y=15.4x-32 3.5-4 y=-15.6x+80
... ... ... ...
13-13.5 y=15.4x-192 13.5-14 y=-15.6x+240
14-14.5 y=15.4x-208 14.5-15 y=-15.6x+256
由MATLAB R2009b可得的圖像如下：
3、结果分析
从图中可以观察到呈现周期性变化，随时间逐渐递增。交通事故所影响的路段车辆排队长度，因为阻塞交通流密度k在这个条件下可以认为是一个稳定值，所以L也随着呈周期性变化，即排队长度随着时间呈周期性变化，并且逐渐变长。由和上述图像可知，交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力成负相关；且与事故持续时间成正相关，时间越长，影响越大；与路段上游车流量成正相关，车流量越大，影响越大。从模型中我们还可以看到，红绿灯相位变化对排队长度也有影响，且呈现出一个周期性的变化过程。这与视频以及实际情况符合良好。
四、模型的推广与改进
在上述微分方程模型中，我们仅考虑了路段上游交通流量，即到达率的总和，并没有考虑上游交叉口各个方向车道的车流量，以及路段上小区的两条进出道。对于模型的改进，我们将上述交通流量分别加以考虑，思路如下：
考虑道路A、B、C以及小区路口E和F影响，其中E小区路口的车辆流入D车道，其中F小区路口的车辆流出D车道。其中分别表示t时刻A、B、C、E、F路段上游的车辆到达率（每分钟内到达的pcu）；
表示t时刻事故横截面的车辆通过率（每分钟内通过的pcu）；
k表示道路的密度（每米的道路pcu）；
L表示交通事故所影响的路段车辆排队长度。
可得：
可得微分方程：
、k可以由视频求出，然后进行积分可以求出，由公式可以得出交通事故所影响的路段车辆排队长度。
上述模型主要考虑微分方程的建模思想，实际上，排队现象在交通运输系统中随处可见。对于排队现象的分析和排队长度的计算，现在已有不少成熟的分析手段。主要包括概率论、排队论、随机过程、累积曲线、冲击波、神经网络与微观模拟等方法。如果微分方程模型能够结合种这些模型求解，再对求解的结果进行分析，相信能够更好地估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度。
参考文献：
[1]陈宽民.道路通行能力分析[M].北京：人民交通出版社，2003.
[2]汪晓银.数学建模与数学实验[M].北京：科学出版社，2012.
[3]倪艳明.城市道路交通通告能力影响因素分析及研究[D].广州：华南理工大学，2013.
【关键词】车道被占用；微分方程；排队长度；道路通行能力
背景
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。城市道路通行能力及其影响因素的研究，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案等提供理论依据。2013 年全国大学生数学建模竞赛 A 题中一段时长为27分钟左右的视频描述了一个路段交通事故发生至撤离期间的实际情况，此路段一共有三个车道，交通事故完全占用两个车道，并且路段上游有个相位时间为30秒的交通信号灯。考虑到红绿灯对上游交通流的具有周期性的影响，我们通过采集每30s绿灯和每30s红灯到达事故横截面的各种车型的车辆数，并通过车辆折算系数换算出标准车当量数（pcu），作为研究道路通行能力的原始数据。
二、微分方程模型
用Autocad将路段上游路口地形简化成如图1所示。
车流运动可以近似看作流体，其运行规律满足流体力学定律。所以可以用微分方程描述车流运动过程：
： t时刻路段上游到达事故点横截面的pcu（标准车当量数）
：t时刻路段上游的车辆到达率（每分钟内到达的pcu）
：t时刻事故横截面的车辆通过率（每分钟内通过事故横截面的pcu）
k： 阻塞交通流的密度（每米道路存在的pcu）
L： 交通事故所影响的路段车辆排队长度
通过分析车流量在一小段时间内的变动，建立微分方程。
可知在时间Δt内可以有关系式：
整理可得：
由导数的定义可以得出如下方程：
从而可以得出如下的微分方程：
+＼* MERGEFORMAT ①
交通事故所影响的路段车辆排队长度
三、模型的应用
1、模型的求解
将交通事故期间分为两个时间段讨论：
⑴从视频开始到交通事故发生之前这一段时间，因为这段时间道路畅通无阻，上游路段的车辆到达率都小于或等于事故横截面的车辆通过率，即：
⑵从交通事故发生到事故解决这期间，随时间t变化，设事故发生时刻t=0 min，视频中事故持续时间为十五分钟，则事故结束时刻t=15 min。假设红灯和绿灯时间均为30s，我们取一周期T=60s，通过视频统计出每30s绿灯和每30s红灯到达的标准车当量数（pcu）。结果如下（红灯的省略）：
每30s绿灯到达的标准车当量数
序号 1 2 3 4 5 6 7
时间t的区间（min） 0-0.5 1-1.5 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 6-6.5
绿灯时间的pcu 13.5 14 14.5 10 18.5 17 20.5
8 9 10 11 12 13 14 15
7-7.5 8-8.5 9-9.5 10-10.5 11-11.5 12-12.5 13-13.5 14-14.5
19 20.5 18 21 16.5 16.5 14 16.5
通过视频统计的数据分析，可以发现红灯时间的车辆到达率、绿灯时间车辆到达率以及事故横截面的车辆通过率在很小的范围内波动，因此我们分别采用红灯时间的平均车辆到达率、绿灯时间的平均车辆到达率以及事故横截面的平均车辆通过率进行计算，即：
通过计算可得：
红灯时间平均车辆到达率=2
绿灯时间平均车辆到达率=33
将统计出的数据进行描述性统计分析可得：
事故横截面的平均车辆通过率=17.6
用的分段函数分别表示绿灯时间平均车辆到达率和红灯时间平均车辆到达率，即
=
当t=0时，由视频统计出的数据可得事故发生时刻从路段上游到事故横截面的车辆数（pcu）：
2、得出结果
用微分方程①和上面推算的、可得的解析式如下：
绿灯时间段 红灯时间段
时间t 对应的解析式 时间t 对应的解析式
0-0.5 y=15.4x+16 0.5-1 y=-15.6x+32
1-1.5 y=15.4x 1.5-2 y=-15.6x+48
2-2.5 y=15.4x-16 2.5-3 y=-15.6x+64
3-3.5 y=15.4x-32 3.5-4 y=-15.6x+80
... ... ... ...
13-13.5 y=15.4x-192 13.5-14 y=-15.6x+240
14-14.5 y=15.4x-208 14.5-15 y=-15.6x+256
由MATLAB R2009b可得的圖像如下：
3、结果分析
从图中可以观察到呈现周期性变化，随时间逐渐递增。交通事故所影响的路段车辆排队长度，因为阻塞交通流密度k在这个条件下可以认为是一个稳定值，所以L也随着呈周期性变化，即排队长度随着时间呈周期性变化，并且逐渐变长。由和上述图像可知，交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力成负相关；且与事故持续时间成正相关，时间越长，影响越大；与路段上游车流量成正相关，车流量越大，影响越大。从模型中我们还可以看到，红绿灯相位变化对排队长度也有影响，且呈现出一个周期性的变化过程。这与视频以及实际情况符合良好。
四、模型的推广与改进
在上述微分方程模型中，我们仅考虑了路段上游交通流量，即到达率的总和，并没有考虑上游交叉口各个方向车道的车流量，以及路段上小区的两条进出道。对于模型的改进，我们将上述交通流量分别加以考虑，思路如下：
考虑道路A、B、C以及小区路口E和F影响，其中E小区路口的车辆流入D车道，其中F小区路口的车辆流出D车道。其中分别表示t时刻A、B、C、E、F路段上游的车辆到达率（每分钟内到达的pcu）；
表示t时刻事故横截面的车辆通过率（每分钟内通过的pcu）；
k表示道路的密度（每米的道路pcu）；
L表示交通事故所影响的路段车辆排队长度。
可得：
可得微分方程：
、k可以由视频求出，然后进行积分可以求出，由公式可以得出交通事故所影响的路段车辆排队长度。
上述模型主要考虑微分方程的建模思想，实际上，排队现象在交通运输系统中随处可见。对于排队现象的分析和排队长度的计算，现在已有不少成熟的分析手段。主要包括概率论、排队论、随机过程、累积曲线、冲击波、神经网络与微观模拟等方法。如果微分方程模型能够结合种这些模型求解，再对求解的结果进行分析，相信能够更好地估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度。
参考文献：
[1]陈宽民.道路通行能力分析[M].北京：人民交通出版社，2003.
[2]汪晓银.数学建模与数学实验[M].北京：科学出版社，2012.
[3]倪艳明.城市道路交通通告能力影响因素分析及研究[D].广州：华南理工大学，2013.