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《数学课程标准》在“课程目标”中明确指出要让学生“形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神”。这一目标要求言简意赅。笔者认为,只有准确、全面和深刻地把握教学目标的本质要求,才能确保策略教学的有效到位。本文试图结合自己的实践和思考,对“解决问题的策略”之教学要求进行分析,以期达到抛砖引玉的目的。
一、发展性
数学策略的应用水平直接反映出学生数学思考能力的强弱。因此,解题策略的教学要求应随着学生数学知识的逐步积累和思维的不断发展而同步提高,体现教学的发展性要求。
1.就策略的内容安排而言,要做到循序渐进
解决问题的策略内容极其丰富,必须结合数学知识的教学按由易到难、由具体到抽象的顺序让学生逐步认识和掌握。课程目标对不同学段学生提出了侧重面不同的原则性要求,第一学段侧重于通过介绍同一问题的不同解决方法,让学生感受到解决问题可以有不同的策略;第二学段则侧重于让学生尝试寻找不同的解决方法。如苏教版从第二学段开始每一册都编排一个“解决问题的策略”单元,相对集中地介绍解决问题的一些基本策略。根据学生的思维特点和认知水平,中年级侧重于掌握解决问题的辅助手段——列表法、画图法等,高年级侧重于学习一些常见的数学思想方法——枚举、倒推、替换、假设、转化等。
2.就策略的形成过程而言,要做到螺旋式上升
一种解题策略并非靠解几道题或上一节课就能形成的,一般需经历渗透→认识→运用这一螺旋式上升的过程。渗透阶段学生处于无意识的应用状态,认识阶段学生在理解策略的基础上,能有意识地应用策略解决教师或教材提出的数学问题,而运用阶段学生能依据问题的具体特点,自觉运用相应的策略去寻求问题的解决。比如“转化”的策略,苏教版安排在小学最后一个学期学习,其实之前的教学中已经进行了较多的渗透,小数乘除法的计算、异分母分数加减法的计算要用到“转化”,平行四边形、三角形、梯形、圆面积计算公式的推导及圆柱体积计算公式的推导也都要用到“转化”……因此,六年级下学期专题学习“转化”的策略时,应充分利用学生已经积累的经验,帮助理解“转化”的本质特点:一是等值性,也就是说“转化”应该在不改变问题结论的前提下进行;二是变式性,把较复杂的问题变成较简单的问题,把陌生的问题变为熟悉的问题,通过改变问题的呈现形式(如形状、表达方式等),以利于问题的解决。待学生认识“转化”的策略以后,再在解决问题的过程中逐步提升策略的应用水平。可见,解题策略的教学是一项长期的系统工程,只有靠教师有意识的引导和有目的的训练方能取得成效。
二、综合性
1.教学目标应体现全面性
教学时,不能仅满足于让学生理解和掌握某种解题策略,而应力求体现出教学目标的全面性。教师不仅要关注学生解决问题的策略的形成过程,还要关注学生数学思考、情感与态度等的发展,要让学生经历将实际问题抽象成数学模型的过程,要让学生有条理地、清晰地阐述自己解决问题的思路,发展合情推理能力与初步的演绎推理能力,要让学生在充分感受解决问题的策略的过程中发展实践能力与创新精神,同时获得积极的情感体验。
2.教学内容应体现完整性
“完整性”并不是说要把所有的解题策略作为小学阶段的教学内容,事实上这也是不可能的。“完整性”主要包含三层意思:一是要将解题策略的教学贯穿于小学的各个阶段。具体内容可根据不同年龄段学生的基础和认知水平作出合理的安排,并形成一定的序列。低年段仍然以渗透为主,但一些一般的策略,如分析法和综合法等,还是必须尽早加以训练。二是在教学好教材中出现的一些策略的同时,教师还可结合教学实际需要,适当补充诸如猜测、类比、验证、试验、延伸等有助于解决数学问题的一些常用策略。三是不能让解题策略的教学昙花一现。也就是说,不能只注重集中性学习,而忽视经常性的应用。
3.教学方法应体现灵活性
一方面不能将解题策略的教学单一化。教学时,教师不能孤立地教学某种策略,而应了解教材编写意图,有机地将前后策略联系起来,提高策略教学的有效性。另一方面,不能将解题策略的应用呆板化。有时仅用一种策略还较难实现问题的解决,这时就需要用其他策略辅助,如运用“倒推”策略时还往往要以列表法、画变化图或画线段图等策略为辅助,让事物的变化过程直观、简明地呈现出来,便于学生进行倒推。
三、适度性
1.问题的难度要适当
由于受传统应用题教学的影响,很多教师依然会把学会解像教材例题类型的问题作为教学的主要目标,采用“题型 题海”式的教学策略。教材为了便于体现策略的应用价值,选取的问题又大多是奥数训练的内容。如教学假设法用的就是“鸡兔同笼”题。这样,容易导致教师走入解题策略教学的误区。于是很多教师都在埋怨“新课标”的要求太高了,怎么把数学竞赛的内容都编进了教材?要消除上述误解,必须正确认识“问题解决”与“策略应用”之间的关系。解决问题,特别是解决新颖的问题需要运用策略,解决问题的策略是在解决问题的活动中形成和积累的。尽管认识策略是为了更好地运用策略,运用策略解决问题体现了学习策略的价值,但是教学时没有必要将过多的时间用在引导学生熟练运用策略解决相关的实际问题上,而应引导学生多元、深刻地认识和理解策略,感受策略给问题解决带来的便利,真正形成爱策略、用策略的意识。基于上述认识,笔者认为,问题的难易程度应符合“课程目标”规定的要求,并尽量与数学基础知识的教学紧密结合,切忌层层“加码”,从而让“奥数题”堂而皇之地进入课堂和考题中,致使学生对数学学习产生恐惧感。此外,教材内容一定要对教学发挥好正确的导向作用。
2.应用的要求要恰当
策略仅仅是解决问题的方法和手段,应用时不宜对学生提出统一的要求,否则会挫伤学生学习的积极性。比如,教学“画图法”后,有的老师规定学生做每道题之前都要先画图,而且画的图一定要符合老师的要求,这既加重了学生的学业负担,又容易使学生对学习画图这种策略产生厌烦情绪。我认为,教学时一定要注重实效、因人而异。对于思维能力强的学生来说,能轻松解决的问题就未必要画图。画图也不必过分讲究,只要有助于学生解决问题,画个“简图”或“草图”也未尝不可。总而言之,解决问题的策略具有多样化的特点,每一个人都应当有自己对问题的理解,并在此基础上形成自己解决问题的策略。在这种鼓励个性发挥的意义之下,创新精神的培养才会成为可能。因此,教学中应该鼓励创新,提倡形式个性化。
四、自主性
1.让学生产生学习策略的欲望
教师要精心创设现实情境,激发学生学习解题策略的内在动机。例如,在教学“枚举法”时,可精选需要应用枚举策略解决的实际问题,创设情境激活已有的枚举经验,引导学生主动开展枚举活动。要让学生在教学活动中不断感受和体验策略的价值。为什么要使用枚举法?怎样使用枚举法?使用枚举法有什么好处?在什么情况下使用枚举法?以现实的问题情境进行教学,使枚举变成了有意义的自觉行为,而不是机械被动的接受。
2.让学生经历策略的形成过程
解决问题的策略不能直接从外部输入,只能在应用策略解决问题的过程中通过体验而获得。而体验是一种心理活动,是在亲身经历的过程中获得的意识与感受。因此,让学生经历策略的形成过程应当成为教学追求的重要目标。学生在经历策略形成的过程中获得对策略内涵的认识和理解,让策略的学习过程成为发展策略意识的途径。例如,一位教师在教学“替换”的策略时,通过自主探索—回顾反思—变式训练—对比概括等环节,组织学生开展画图、叙说、推理、验证、比较、概括等丰富多样的数学活动,完整地经历替换策略的形成过程,使教学活动扎实有效。
一、发展性
数学策略的应用水平直接反映出学生数学思考能力的强弱。因此,解题策略的教学要求应随着学生数学知识的逐步积累和思维的不断发展而同步提高,体现教学的发展性要求。
1.就策略的内容安排而言,要做到循序渐进
解决问题的策略内容极其丰富,必须结合数学知识的教学按由易到难、由具体到抽象的顺序让学生逐步认识和掌握。课程目标对不同学段学生提出了侧重面不同的原则性要求,第一学段侧重于通过介绍同一问题的不同解决方法,让学生感受到解决问题可以有不同的策略;第二学段则侧重于让学生尝试寻找不同的解决方法。如苏教版从第二学段开始每一册都编排一个“解决问题的策略”单元,相对集中地介绍解决问题的一些基本策略。根据学生的思维特点和认知水平,中年级侧重于掌握解决问题的辅助手段——列表法、画图法等,高年级侧重于学习一些常见的数学思想方法——枚举、倒推、替换、假设、转化等。
2.就策略的形成过程而言,要做到螺旋式上升
一种解题策略并非靠解几道题或上一节课就能形成的,一般需经历渗透→认识→运用这一螺旋式上升的过程。渗透阶段学生处于无意识的应用状态,认识阶段学生在理解策略的基础上,能有意识地应用策略解决教师或教材提出的数学问题,而运用阶段学生能依据问题的具体特点,自觉运用相应的策略去寻求问题的解决。比如“转化”的策略,苏教版安排在小学最后一个学期学习,其实之前的教学中已经进行了较多的渗透,小数乘除法的计算、异分母分数加减法的计算要用到“转化”,平行四边形、三角形、梯形、圆面积计算公式的推导及圆柱体积计算公式的推导也都要用到“转化”……因此,六年级下学期专题学习“转化”的策略时,应充分利用学生已经积累的经验,帮助理解“转化”的本质特点:一是等值性,也就是说“转化”应该在不改变问题结论的前提下进行;二是变式性,把较复杂的问题变成较简单的问题,把陌生的问题变为熟悉的问题,通过改变问题的呈现形式(如形状、表达方式等),以利于问题的解决。待学生认识“转化”的策略以后,再在解决问题的过程中逐步提升策略的应用水平。可见,解题策略的教学是一项长期的系统工程,只有靠教师有意识的引导和有目的的训练方能取得成效。
二、综合性
1.教学目标应体现全面性
教学时,不能仅满足于让学生理解和掌握某种解题策略,而应力求体现出教学目标的全面性。教师不仅要关注学生解决问题的策略的形成过程,还要关注学生数学思考、情感与态度等的发展,要让学生经历将实际问题抽象成数学模型的过程,要让学生有条理地、清晰地阐述自己解决问题的思路,发展合情推理能力与初步的演绎推理能力,要让学生在充分感受解决问题的策略的过程中发展实践能力与创新精神,同时获得积极的情感体验。
2.教学内容应体现完整性
“完整性”并不是说要把所有的解题策略作为小学阶段的教学内容,事实上这也是不可能的。“完整性”主要包含三层意思:一是要将解题策略的教学贯穿于小学的各个阶段。具体内容可根据不同年龄段学生的基础和认知水平作出合理的安排,并形成一定的序列。低年段仍然以渗透为主,但一些一般的策略,如分析法和综合法等,还是必须尽早加以训练。二是在教学好教材中出现的一些策略的同时,教师还可结合教学实际需要,适当补充诸如猜测、类比、验证、试验、延伸等有助于解决数学问题的一些常用策略。三是不能让解题策略的教学昙花一现。也就是说,不能只注重集中性学习,而忽视经常性的应用。
3.教学方法应体现灵活性
一方面不能将解题策略的教学单一化。教学时,教师不能孤立地教学某种策略,而应了解教材编写意图,有机地将前后策略联系起来,提高策略教学的有效性。另一方面,不能将解题策略的应用呆板化。有时仅用一种策略还较难实现问题的解决,这时就需要用其他策略辅助,如运用“倒推”策略时还往往要以列表法、画变化图或画线段图等策略为辅助,让事物的变化过程直观、简明地呈现出来,便于学生进行倒推。
三、适度性
1.问题的难度要适当
由于受传统应用题教学的影响,很多教师依然会把学会解像教材例题类型的问题作为教学的主要目标,采用“题型 题海”式的教学策略。教材为了便于体现策略的应用价值,选取的问题又大多是奥数训练的内容。如教学假设法用的就是“鸡兔同笼”题。这样,容易导致教师走入解题策略教学的误区。于是很多教师都在埋怨“新课标”的要求太高了,怎么把数学竞赛的内容都编进了教材?要消除上述误解,必须正确认识“问题解决”与“策略应用”之间的关系。解决问题,特别是解决新颖的问题需要运用策略,解决问题的策略是在解决问题的活动中形成和积累的。尽管认识策略是为了更好地运用策略,运用策略解决问题体现了学习策略的价值,但是教学时没有必要将过多的时间用在引导学生熟练运用策略解决相关的实际问题上,而应引导学生多元、深刻地认识和理解策略,感受策略给问题解决带来的便利,真正形成爱策略、用策略的意识。基于上述认识,笔者认为,问题的难易程度应符合“课程目标”规定的要求,并尽量与数学基础知识的教学紧密结合,切忌层层“加码”,从而让“奥数题”堂而皇之地进入课堂和考题中,致使学生对数学学习产生恐惧感。此外,教材内容一定要对教学发挥好正确的导向作用。
2.应用的要求要恰当
策略仅仅是解决问题的方法和手段,应用时不宜对学生提出统一的要求,否则会挫伤学生学习的积极性。比如,教学“画图法”后,有的老师规定学生做每道题之前都要先画图,而且画的图一定要符合老师的要求,这既加重了学生的学业负担,又容易使学生对学习画图这种策略产生厌烦情绪。我认为,教学时一定要注重实效、因人而异。对于思维能力强的学生来说,能轻松解决的问题就未必要画图。画图也不必过分讲究,只要有助于学生解决问题,画个“简图”或“草图”也未尝不可。总而言之,解决问题的策略具有多样化的特点,每一个人都应当有自己对问题的理解,并在此基础上形成自己解决问题的策略。在这种鼓励个性发挥的意义之下,创新精神的培养才会成为可能。因此,教学中应该鼓励创新,提倡形式个性化。
四、自主性
1.让学生产生学习策略的欲望
教师要精心创设现实情境,激发学生学习解题策略的内在动机。例如,在教学“枚举法”时,可精选需要应用枚举策略解决的实际问题,创设情境激活已有的枚举经验,引导学生主动开展枚举活动。要让学生在教学活动中不断感受和体验策略的价值。为什么要使用枚举法?怎样使用枚举法?使用枚举法有什么好处?在什么情况下使用枚举法?以现实的问题情境进行教学,使枚举变成了有意义的自觉行为,而不是机械被动的接受。
2.让学生经历策略的形成过程
解决问题的策略不能直接从外部输入,只能在应用策略解决问题的过程中通过体验而获得。而体验是一种心理活动,是在亲身经历的过程中获得的意识与感受。因此,让学生经历策略的形成过程应当成为教学追求的重要目标。学生在经历策略形成的过程中获得对策略内涵的认识和理解,让策略的学习过程成为发展策略意识的途径。例如,一位教师在教学“替换”的策略时,通过自主探索—回顾反思—变式训练—对比概括等环节,组织学生开展画图、叙说、推理、验证、比较、概括等丰富多样的数学活动,完整地经历替换策略的形成过程,使教学活动扎实有效。