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摘 要：文章对大学数学概念教学的重要性和存在的问题进行了讨论和分析，并以定积分的概念为例，对大学数学概念教学设计进行了探讨，提出了包含概念的引入、解释、应用和延拓等方面的课堂教学设计方法。
关键词：大学数学；概念教学；定积分
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）12-0083-02
Abstract： This paper discusses and analyses the importance and the existing problems of the concept teaching in college mathematics， and explores the concept teaching design of college mathematics by taking definite integral as an example. A design method， including introduction， interpretation， application and prolongation， etc， is proposed.
Keywords： college mathematics； concept teaching； definite integral
大学数学是目前大学本、专科绝大多数专业都开设的一门公共基础课，其内容主要包括《高等数学》、《概率论与数理统计》及《线性代数》三门课程。一方面，大学数学能为各专业知识的学习和应用提供理论支撑和方法指导，其重要性不言而喻。另一方面，数学作为研究数量关系和空间形式的学科，其理论和方法具有很强的逻辑性和抽象性。如何将在学生眼中“抽象乏味”的大学数学教好？是长时间以来困扰众多高校数学教师的问题。
一、大学数学概念教学的重要性及现状
俗话说：“万丈高楼平地起”，每一门学科理论体系的构筑均以基本概念为基础。而概念往往表征着某一类自然或社会现象的共性，具有高度的抽象性和概括性。因此，有效的概念学习对理解和掌握相关学科的理论体系具有重要的作用。大学数学丰富的内容决定了其概念众多的特点，许多数学概念不仅具有高度的抽象性和概括性，还蕴含有丰富的历史文化知识和哲学思想。概念作为最基本的知识单元，毋庸置疑，教好大学数学必须要从教好概念出发。虽然也有众多的学者对概念教学进行了探讨，[1]但时下很多大学数学课堂中对数学概念的教学仍然存在着诸多问题，主要体现在以下三个方面：（1）一些教师对概念教学重要性认识不足，舍本逐末，只重视学生的解题能力的训练。（2）一些教师虽然也反复强调概念的重要性，但在教学时对概念的讲解仅仅停留在文字的层面，而缺失对概念背景及蕴含在其背后的数学思想和文化作深入的剖析。（3）概念教学的手段老旧，既没有充分发挥现代化多媒体技术的优势，也没有很好地与专业相融合。这些问题的存在必然导致学生难以正确理解和掌握数学概念的本质和含义，更别提应用其思想方法解决实际问题，留下的印象无外乎“高大上的抽象数学”而已，从而不可避免地产生了厌学情绪，严重影响了后继内容和专业课程的学习。
如前所述，大学数学概念教学是数学课堂教学的重要一环，同时也是目前教学中重视程度或有效教学开展较为薄弱的一环。因此，研究和实施有效的数学概念教学方法和手段，对提高大学数学课堂教学质量具有重要的意义。为此，下面我们以定积分的教学为例，从概念的引入、解释、应用和延拓等方面对数学概念的课堂教学设计进行探讨。
二、大学数学概念教学设计
（一）概念的引入
概念的引入是概念教学的开始，有效的引入不仅能激发学生学习兴趣，也有助于学生对概念本质的理解和掌握。常见的概念引入方式主要有直接引入、案例引入、背景故事引入、类比引入、设问引入等。作者以为，不管是采用什么样的引入方式，概念教学的开展必须遵从人类认知的规律，即人们认识新事物总是遵循从简单到复杂、从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程。同时，数学概念的引入也要考虑学生认知水平，所举的案例或故事、所类比的知识或设置的问题必须属于学生熟悉或能理解范畴，也即使学生“看得见、摸得着、辨得明”。如以定积分的概念为例，可由问题+背景+引例+定義的模式引入。具体教学设计如下：
（1）先复习初等数学中长方形、梯形等规则图形面积的求法。再设问：不规则平面图形如校园荷塘或农田的面积怎样求？由此激起学生的好奇心。（2）在前面设问的基础上，指出求平面图形面积以及求曲线长、曲面围成的体积、物体的重心和引力问题是十七世纪由社会发展需要所产生的主要科学问题之一，并由此促成了定积分产生和发展。通过简要的背景介绍，使学生对数学概念的形成和发展历史有初步的了解，并增加了进一步求知的欲望。（3）介绍经典引例——先细讲曲边梯形面积的求法再粗讲变速直线运动的位移求法，重点突出两者结果在结构上的共性，由此引出定积分的概念。
（二）概念的解释
在此，我们将对数学概念的解释分为两部分：概念的本义解释和概念的内涵揭示。
1. 概念本义解释
概念的本义解释主要是对概念的主要条件、相关特征及结论进行讲解。以定积分为例，作者认为需要讲清楚三个方面：一是二个“任意”，即在区间[a，b]中插入分点的任意性和在每个小区間[xi-1，xi]中取点的任意性；二是讲清楚分点个数n→∞与小区间最大长度？姿→∞之间的联系和区别；三是对定积分的符号作解释，如积分号？蘩可以看作一个拉长的S，而S则可理解为求和英文单词Sum的首字母，这正与定积分“累加求和”的本义相符。如有时间，也可顺便向学生简单介绍牛顿和莱布尼兹创立微积分时所用符号的区别，让学生了解数学概念和数学符号产生和发展的历史和典故。
2. 概念内涵揭示 概念内涵的揭示主要是指向学生剖析概念背后蕴含的数学方法和思想。
首先，由于人类的思维活动一般遵循由形象到抽象的认知规律，故在数学概念的教学中教师应先考虑如何将抽象的概念形象化或直观化，再通过对概念本质内涵的不断揭示实现从感性认识到理性认识的升华。以定积分概念为例，定积分的数学方法主体要现在求曲边梯形面积时采用的“分割、近似、求和、取极限”的方法，并由此得到具有一般性的“微元法”。俗话说“百闻不如一见”，多媒体教学有着传统黑板教学不可比拟的优势。[2]在定积分的概念教学中应尽可能利用多媒体教学的优势，精心制作求曲边梯形面积的动态课件，通过调整积分上下限、分割点的个数等参数动态显示曲边梯形近似求面积的过程。另外，我们也可以将定积分比喻为一块由无数条线拼成的布。通过直观的显示和通俗的比喻，可使抽象的概念变得直观、生动，从而有助于学生对定积分相应数学思想和方法的理解。
其次，许多数学概念背后蕴含有丰富的哲学思想，在教学中教师应适时、适当向学生介绍相关的哲学思想，以帮助学生更好的理解和掌握数学的思想精髓。如在定积分概念教学时，直线与曲线本是对立的两方面，但在求曲边梯形面积时在取极限的条件下可以用直线代替曲线，这体现了哲学的对立与统思想；而由有限个矩形面积近似曲边梯形面积到通过取极限得到曲边梯面积的精确值的过程则体现了哲学中量变到质变思想；另外，求曲边梯形面积的过程：先不求曲边梯形面积（否定）→转为求矩形面积→（再否定）再通过取极限求曲邊梯形面积，这一过程蕴含了哲学中否定之否定的思想。因此，在数学概念的教学中，教师应引导学生一起探究蕴含在数学概念背后的思想和文化，培养学生养成用辩证思想思考和解决问题的好习惯。
（三）概念的应用
“学以致用”是学生课程学习的主要目的，也是高等教育培养应用型人才的必然要求。随着社会的发展，作为公共基础课的大学数学，其理论和方法已广泛应用于自然和社会科学各领域，数学学科与各学科间的相互交叉渗透的特征和趋势越来越鲜明。因此，在大学数学的概念教学中也要体现应用的理念，通过精心设计将数学概念与专业应用相融合，在完成概念的引入和解释后，任课教师应结合学生的专业方向，再简要介绍一到二个应用案例。如在定积分的教学中，对于经管专业，可以选讲已知某个投资项目的预期收入f（t）和年利率？酌，其中t为时间，如何求某个时间区间上总贴现值的案例；而对于电气专业，可以讲述已知电流的时间函数要求电压的应用案例等等。这样的设计使数学概念教学与授课学生专业相融合，可以有助于学生正确理解数学“基础”课程的地位和作用，真实地感受到数学的价值，从而增加数学课程对学生的吸引力，激发学生学习数学的兴趣。
（四）概念的延拓
在此，我们也从两个方面来理解和讲述概念的延拓，其一是概念内容的外联，其二是概念思想的外延。一方面，大学数学一个显著的特点是知识体系的逻辑性较强，各章节内容的前后关系密切。大学数学课程中众多的概念往往都不是孤立的，而是都具有某种程度的关联性，教师在概念教学中必须具有整体的观念，讲清楚各相关概念之间的区别与联系，即概念的外联。这不仅有助学生在温故中知新，更重要的是有助于学生建立课程概念体系，避免只见树木不见森林。以定积分的概念为例，极限、导数、不定积分等概念都与之相关，在教学中要理清这些概念的关系，帮助学生构建概念关系网络图，培养学生逻辑思维能力和系统观。另一方面，数学概念体现了一类事物或现象的某种本质属性或思想方法，这种本质属性或思想方法即为概念的内涵。如著名数学家波利亚所说：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是从中提出一般的方法或模式。这种模式，在以后类似的情况下，对读者求解问题，可以起指引作用”。[3]因此，在概念的教学中不仅应教会学生对事物本质属性的抽象概括能力，还应教会学生用类比的思想方法解决类似的问题。如在定积分的概念教学中，学生通过学习曲边梯形面积求法掌握定积分的思想方法后，教师可以抛出新问题：怎样求曲顶柱体的体积？怎样求线密度连续的曲线型构件的质量？在求曲边梯形近似面积的过程中能否用小梯形代替小矩形？对这些新的问题教师可以作简要提示，但不要细讲。这样设置“悬念”的教学方法，不仅为后续内容的学习埋下“伏笔”，更重要的是能调动学生主动学习的求知欲，并在探索学习中进一步巩固概念的同时学会类比和归纳总结的思想方法。
三、结束语
课堂教学设计是大学数学教学的重要组成部分，科学合理的教学设计是提高大学公共数学教学质量的保证。数学概念作为构成数学理论体系最基本的知识单元，其相应的教学设计应引起广大数学教师的重视。只有把数学课中众多概念切切实实地教好，使学生不仅掌握概念的内容，还能理解概念的内涵和外延，领悟蕴含在概念中的数学思想、文化和应用价值，才能使学生由对数学课的普遍“畏学和厌学”逐步转变为“乐学和思学”，进而提高大学数学课程的教学效果和质量，从而有助于实现大学生“知识、能力、素质”三位一体协调全面发展的最终教育目标。
参考文献
[1]張耀.数学概念教学研究综述[J].运城学院学报，2005，23（2）：39-41.
[2]黄敢基，尹长明.概率论与数理统计多媒体教学有效性研究[J].高教论坛，2009，7：59-61.
[3]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003，12（2）：83-86.
关键词：大学数学；概念教学；定积分
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）12-0083-02
Abstract： This paper discusses and analyses the importance and the existing problems of the concept teaching in college mathematics， and explores the concept teaching design of college mathematics by taking definite integral as an example. A design method， including introduction， interpretation， application and prolongation， etc， is proposed.
Keywords： college mathematics； concept teaching； definite integral
大学数学是目前大学本、专科绝大多数专业都开设的一门公共基础课，其内容主要包括《高等数学》、《概率论与数理统计》及《线性代数》三门课程。一方面，大学数学能为各专业知识的学习和应用提供理论支撑和方法指导，其重要性不言而喻。另一方面，数学作为研究数量关系和空间形式的学科，其理论和方法具有很强的逻辑性和抽象性。如何将在学生眼中“抽象乏味”的大学数学教好？是长时间以来困扰众多高校数学教师的问题。
一、大学数学概念教学的重要性及现状
俗话说：“万丈高楼平地起”，每一门学科理论体系的构筑均以基本概念为基础。而概念往往表征着某一类自然或社会现象的共性，具有高度的抽象性和概括性。因此，有效的概念学习对理解和掌握相关学科的理论体系具有重要的作用。大学数学丰富的内容决定了其概念众多的特点，许多数学概念不仅具有高度的抽象性和概括性，还蕴含有丰富的历史文化知识和哲学思想。概念作为最基本的知识单元，毋庸置疑，教好大学数学必须要从教好概念出发。虽然也有众多的学者对概念教学进行了探讨，[1]但时下很多大学数学课堂中对数学概念的教学仍然存在着诸多问题，主要体现在以下三个方面：（1）一些教师对概念教学重要性认识不足，舍本逐末，只重视学生的解题能力的训练。（2）一些教师虽然也反复强调概念的重要性，但在教学时对概念的讲解仅仅停留在文字的层面，而缺失对概念背景及蕴含在其背后的数学思想和文化作深入的剖析。（3）概念教学的手段老旧，既没有充分发挥现代化多媒体技术的优势，也没有很好地与专业相融合。这些问题的存在必然导致学生难以正确理解和掌握数学概念的本质和含义，更别提应用其思想方法解决实际问题，留下的印象无外乎“高大上的抽象数学”而已，从而不可避免地产生了厌学情绪，严重影响了后继内容和专业课程的学习。
如前所述，大学数学概念教学是数学课堂教学的重要一环，同时也是目前教学中重视程度或有效教学开展较为薄弱的一环。因此，研究和实施有效的数学概念教学方法和手段，对提高大学数学课堂教学质量具有重要的意义。为此，下面我们以定积分的教学为例，从概念的引入、解释、应用和延拓等方面对数学概念的课堂教学设计进行探讨。
二、大学数学概念教学设计
（一）概念的引入
概念的引入是概念教学的开始，有效的引入不仅能激发学生学习兴趣，也有助于学生对概念本质的理解和掌握。常见的概念引入方式主要有直接引入、案例引入、背景故事引入、类比引入、设问引入等。作者以为，不管是采用什么样的引入方式，概念教学的开展必须遵从人类认知的规律，即人们认识新事物总是遵循从简单到复杂、从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程。同时，数学概念的引入也要考虑学生认知水平，所举的案例或故事、所类比的知识或设置的问题必须属于学生熟悉或能理解范畴，也即使学生“看得见、摸得着、辨得明”。如以定积分的概念为例，可由问题+背景+引例+定義的模式引入。具体教学设计如下：
（1）先复习初等数学中长方形、梯形等规则图形面积的求法。再设问：不规则平面图形如校园荷塘或农田的面积怎样求？由此激起学生的好奇心。（2）在前面设问的基础上，指出求平面图形面积以及求曲线长、曲面围成的体积、物体的重心和引力问题是十七世纪由社会发展需要所产生的主要科学问题之一，并由此促成了定积分产生和发展。通过简要的背景介绍，使学生对数学概念的形成和发展历史有初步的了解，并增加了进一步求知的欲望。（3）介绍经典引例——先细讲曲边梯形面积的求法再粗讲变速直线运动的位移求法，重点突出两者结果在结构上的共性，由此引出定积分的概念。
（二）概念的解释
在此，我们将对数学概念的解释分为两部分：概念的本义解释和概念的内涵揭示。
1. 概念本义解释
概念的本义解释主要是对概念的主要条件、相关特征及结论进行讲解。以定积分为例，作者认为需要讲清楚三个方面：一是二个“任意”，即在区间[a，b]中插入分点的任意性和在每个小区間[xi-1，xi]中取点的任意性；二是讲清楚分点个数n→∞与小区间最大长度？姿→∞之间的联系和区别；三是对定积分的符号作解释，如积分号？蘩可以看作一个拉长的S，而S则可理解为求和英文单词Sum的首字母，这正与定积分“累加求和”的本义相符。如有时间，也可顺便向学生简单介绍牛顿和莱布尼兹创立微积分时所用符号的区别，让学生了解数学概念和数学符号产生和发展的历史和典故。
2. 概念内涵揭示 概念内涵的揭示主要是指向学生剖析概念背后蕴含的数学方法和思想。
首先，由于人类的思维活动一般遵循由形象到抽象的认知规律，故在数学概念的教学中教师应先考虑如何将抽象的概念形象化或直观化，再通过对概念本质内涵的不断揭示实现从感性认识到理性认识的升华。以定积分概念为例，定积分的数学方法主体要现在求曲边梯形面积时采用的“分割、近似、求和、取极限”的方法，并由此得到具有一般性的“微元法”。俗话说“百闻不如一见”，多媒体教学有着传统黑板教学不可比拟的优势。[2]在定积分的概念教学中应尽可能利用多媒体教学的优势，精心制作求曲边梯形面积的动态课件，通过调整积分上下限、分割点的个数等参数动态显示曲边梯形近似求面积的过程。另外，我们也可以将定积分比喻为一块由无数条线拼成的布。通过直观的显示和通俗的比喻，可使抽象的概念变得直观、生动，从而有助于学生对定积分相应数学思想和方法的理解。
其次，许多数学概念背后蕴含有丰富的哲学思想，在教学中教师应适时、适当向学生介绍相关的哲学思想，以帮助学生更好的理解和掌握数学的思想精髓。如在定积分概念教学时，直线与曲线本是对立的两方面，但在求曲边梯形面积时在取极限的条件下可以用直线代替曲线，这体现了哲学的对立与统思想；而由有限个矩形面积近似曲边梯形面积到通过取极限得到曲边梯面积的精确值的过程则体现了哲学中量变到质变思想；另外，求曲边梯形面积的过程：先不求曲边梯形面积（否定）→转为求矩形面积→（再否定）再通过取极限求曲邊梯形面积，这一过程蕴含了哲学中否定之否定的思想。因此，在数学概念的教学中，教师应引导学生一起探究蕴含在数学概念背后的思想和文化，培养学生养成用辩证思想思考和解决问题的好习惯。
（三）概念的应用
“学以致用”是学生课程学习的主要目的，也是高等教育培养应用型人才的必然要求。随着社会的发展，作为公共基础课的大学数学，其理论和方法已广泛应用于自然和社会科学各领域，数学学科与各学科间的相互交叉渗透的特征和趋势越来越鲜明。因此，在大学数学的概念教学中也要体现应用的理念，通过精心设计将数学概念与专业应用相融合，在完成概念的引入和解释后，任课教师应结合学生的专业方向，再简要介绍一到二个应用案例。如在定积分的教学中，对于经管专业，可以选讲已知某个投资项目的预期收入f（t）和年利率？酌，其中t为时间，如何求某个时间区间上总贴现值的案例；而对于电气专业，可以讲述已知电流的时间函数要求电压的应用案例等等。这样的设计使数学概念教学与授课学生专业相融合，可以有助于学生正确理解数学“基础”课程的地位和作用，真实地感受到数学的价值，从而增加数学课程对学生的吸引力，激发学生学习数学的兴趣。
（四）概念的延拓
在此，我们也从两个方面来理解和讲述概念的延拓，其一是概念内容的外联，其二是概念思想的外延。一方面，大学数学一个显著的特点是知识体系的逻辑性较强，各章节内容的前后关系密切。大学数学课程中众多的概念往往都不是孤立的，而是都具有某种程度的关联性，教师在概念教学中必须具有整体的观念，讲清楚各相关概念之间的区别与联系，即概念的外联。这不仅有助学生在温故中知新，更重要的是有助于学生建立课程概念体系，避免只见树木不见森林。以定积分的概念为例，极限、导数、不定积分等概念都与之相关，在教学中要理清这些概念的关系，帮助学生构建概念关系网络图，培养学生逻辑思维能力和系统观。另一方面，数学概念体现了一类事物或现象的某种本质属性或思想方法，这种本质属性或思想方法即为概念的内涵。如著名数学家波利亚所说：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是从中提出一般的方法或模式。这种模式，在以后类似的情况下，对读者求解问题，可以起指引作用”。[3]因此，在概念的教学中不仅应教会学生对事物本质属性的抽象概括能力，还应教会学生用类比的思想方法解决类似的问题。如在定积分的概念教学中，学生通过学习曲边梯形面积求法掌握定积分的思想方法后，教师可以抛出新问题：怎样求曲顶柱体的体积？怎样求线密度连续的曲线型构件的质量？在求曲边梯形近似面积的过程中能否用小梯形代替小矩形？对这些新的问题教师可以作简要提示，但不要细讲。这样设置“悬念”的教学方法，不仅为后续内容的学习埋下“伏笔”，更重要的是能调动学生主动学习的求知欲，并在探索学习中进一步巩固概念的同时学会类比和归纳总结的思想方法。
三、结束语
课堂教学设计是大学数学教学的重要组成部分，科学合理的教学设计是提高大学公共数学教学质量的保证。数学概念作为构成数学理论体系最基本的知识单元，其相应的教学设计应引起广大数学教师的重视。只有把数学课中众多概念切切实实地教好，使学生不仅掌握概念的内容，还能理解概念的内涵和外延，领悟蕴含在概念中的数学思想、文化和应用价值，才能使学生由对数学课的普遍“畏学和厌学”逐步转变为“乐学和思学”，进而提高大学数学课程的教学效果和质量，从而有助于实现大学生“知识、能力、素质”三位一体协调全面发展的最终教育目标。
参考文献
[1]張耀.数学概念教学研究综述[J].运城学院学报，2005，23（2）：39-41.
[2]黄敢基，尹长明.概率论与数理统计多媒体教学有效性研究[J].高教论坛，2009，7：59-61.
[3]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报，2003，12（2）：83-86.