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导函数的图象可以形象地描述原函数的单调情况，若能利用它去分析讨论有关单调性、极值、最值、恒成立等含参问题，就可以避开求解过程中诸如“列表讨论”等繁琐的书写格式，数形结合，使解题过程简明清晰。
类型一讨论函数极值点、零点问题
1.已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1在区间（2，3）中至少有一个极值点，求参数a的取值范围。
分析：函数f(x)区间（2，3）内极值点的个数，可以通过f′(x)=0的零点个数去体现，也即在区间（2，3）中，导函数y=f′（x）与x轴的交点的个数.
解答：f′（x）=3x2-6ax+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，且恒过（0，3）点.
（1） 若f(x)在区间（2，3）中只有一个极值点，如图所示，有：
f′（2）＞0
f′（3）＜0
（2） 若f(x)在区间（2，3）中有两个极值点，如图所示，有：
f′（2）＞0
f′（3）＞0
Δ＞0
对称轴x=a∈（2，3）
代入化简得：无解.
综上，参数α的取值范围为54＜a＜53.
2.已知函数f(x)=lnx+4.5x+1（a∈R），如果函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点，求实数k的取值范围.
分析：函数的定义域为（0，+∞），g(x)=f(x)-k在（0，+∞）上仅有一个零点，等价于x∈（0，+∞）时，g(x)=f(x)-k=0只有一解，或函数y=f(x)与函数y=k的图象有且只有一个交点。
解答：f′（x）=1x-4.5（x+1）2=x2-2.5x+1x(x+1)2，x∈（0，+∞）
令F(x)=x2-2.5x+1，由F(x)=0得：x1=12，x2=2，如图所示：
则函数y=f(x)在（0，+∞）内的极大值为f12=3-ln2，极小值为 f(2)=32+ln2，
可得y=f(x)的简图如下：
若y=f(x)与函数y=k的图象有且只有一个交点，只需k＜f(2)或k＞f12.
则k＞3-ln2或k＜32+ln2为所求的实数k的取值范围。
类型二讨论函数的单调性
3. （2010辽宁卷）已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，讨论函数f(x)的单调性.
分析：在定义域（0，+∞）上，由f′（x）＜0可求得函数的减区间，由f′（x）＞0可求得函数的增区间；注意导函数中，分子对应的函数类型及根的个数。
解答：f′（x）=a+1x+2ax=2ax2+a+1x，x∈（0，+∞），令F（x）=2ax2+a+1.
（1） 当a=0时，F(x)=1，如图，x∈(0，+∞)时f′（x）＞0，则y=f(x)的单调增区间为（0，+∞）；
（2） 当a＞0时，F(x)=2ax2+a+1的图象为开口向上的抛物线，且过点（0，a+1），如图：则y=f(x)的单调增区间为（0，+∞）；
（3） 当a＜0时，F(x)=2ax2+a+1的图象为开口向下的抛物线，且Δ=-8a2-8a.
（ⅰ） 若Δ=-8a2-8a≤0，即a≤-1时，如图：则y=f(x)的单调减区间为（0，+∞）；
图（3）-（ⅰ）图（3）-（ⅱ）
（ⅱ） 若Δ=-8a2-8a＞0，即-1＜a＜0时，由F（x）=0得x2=-a+12a，如图：则y=f(x)的单调增区间为0，-a+12a，单调减区间为-a+12a，+∞.
综上，当a≥0时，y=f(x)的单调增区间为（0，+∞）；当a≤-1时，y=f(x)的单调减区间为（0，+∞）；当-1＜a＜0时，y=f(x)的单调增区间为0，-a+12a，单调减区间为-a+12a，+∞.
类型三求函数的极值、最值
4. 已知函数f（x）=x3+mx2+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. 若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1，a+1）内的极值.
分析：极值反映了函数在某一点附近的大小情况，极值点附近两侧的导数符号相反。
解答：易得：m=-3，n=0，则f′(x)=3x2-6x，x1=0，x2=2，且区间（a-1，a+1）的长度为2.
如图：
（1） 若a-1＜0
0＜a+1＜2，即0＜a＜1时有极小值f(0)=-2；（2） 若a-1=0
a+1=2，即a=1时，无极值；
（3） 若a-1＜2
2＜a+1，即1＜a＜3时，有极大值f(2)=-6；
（4） 若a-1≥2，即a≥3时，无极值；
综上：当0＜a＜1时，有极小值f(0)=-2；当a=1时无极值；当1＜a＜3时，有极大值f(2)=-6；当a≥3无极值.
类型四恒成立、证明函数大小问题
5. 设a为实数，当a＞ln2-1且x＞0时，求证：ex＞x2-2ax+1．
分析：证明函数f(x)＞g(x)的问题，往往需构造函数F(x)=f(x)-g(x)，证明F(x)min＞0即可；若F(x)min实在难以求出，也可以降低要求，转证“命题”的充分条件成立，即f(x)min＞g(x)max.
解答：令F(x)=ex-（x2-2ax+1），x＞0，则F′（x）=ex-2x+2a，a＞ln2-1.
下面研究函数f(x)=ex-2x+2a的性质.
由f′（x）=ex-2的简图知，x=ln2为函数f(x)=ex-2x+2a的极小值点，即f(ln2)=2-2ln2+2a为函数f(x)=ex-2x+2a的最小值.
因a＞ln2-1，所以y=f(x)最小值f(ln2)=2-2ln2+2a＞0.
则x＞0时，F′（x）=ex-2x+2a＞f(ln2)＞0，F（x）=ex-(x2-2ax+1)单调递增，有最小值F(0)=0.
那么x＞0时，有F(x)＞F(0)min=0，即ex＞x2-2ax+1成立.
补充练习：
1. （2010山东卷）已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1，a∈R，当a≤12时，讨论f(x)的单调性.
2. （2010北京卷）已知函数f(x)=ln(1+x)-x+k2x2（k≥0）， 求f(x)的单调区间.
3. 函数f(x)=ln|x|(x≠0)，g(x)=1f′(x)+af′(x)(x≠0)，若a＞0,函数y=g(x)在（0，+∞）上的最小值是2 ,求a值.
4.函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8，对任意的x∈（0，+∞）都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
类型一讨论函数极值点、零点问题
1.已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1在区间（2，3）中至少有一个极值点，求参数a的取值范围。
分析：函数f(x)区间（2，3）内极值点的个数，可以通过f′(x)=0的零点个数去体现，也即在区间（2，3）中，导函数y=f′（x）与x轴的交点的个数.
解答：f′（x）=3x2-6ax+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，且恒过（0，3）点.
（1） 若f(x)在区间（2，3）中只有一个极值点，如图所示，有：
f′（2）＞0
f′（3）＜0
（2） 若f(x)在区间（2，3）中有两个极值点，如图所示，有：
f′（2）＞0
f′（3）＞0
Δ＞0
对称轴x=a∈（2，3）
代入化简得：无解.
综上，参数α的取值范围为54＜a＜53.
2.已知函数f(x)=lnx+4.5x+1（a∈R），如果函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点，求实数k的取值范围.
分析：函数的定义域为（0，+∞），g(x)=f(x)-k在（0，+∞）上仅有一个零点，等价于x∈（0，+∞）时，g(x)=f(x)-k=0只有一解，或函数y=f(x)与函数y=k的图象有且只有一个交点。
解答：f′（x）=1x-4.5（x+1）2=x2-2.5x+1x(x+1)2，x∈（0，+∞）
令F(x)=x2-2.5x+1，由F(x)=0得：x1=12，x2=2，如图所示：
则函数y=f(x)在（0，+∞）内的极大值为f12=3-ln2，极小值为 f(2)=32+ln2，
可得y=f(x)的简图如下：
若y=f(x)与函数y=k的图象有且只有一个交点，只需k＜f(2)或k＞f12.
则k＞3-ln2或k＜32+ln2为所求的实数k的取值范围。
类型二讨论函数的单调性
3. （2010辽宁卷）已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，讨论函数f(x)的单调性.
分析：在定义域（0，+∞）上，由f′（x）＜0可求得函数的减区间，由f′（x）＞0可求得函数的增区间；注意导函数中，分子对应的函数类型及根的个数。
解答：f′（x）=a+1x+2ax=2ax2+a+1x，x∈（0，+∞），令F（x）=2ax2+a+1.
（1） 当a=0时，F(x)=1，如图，x∈(0，+∞)时f′（x）＞0，则y=f(x)的单调增区间为（0，+∞）；
（2） 当a＞0时，F(x)=2ax2+a+1的图象为开口向上的抛物线，且过点（0，a+1），如图：则y=f(x)的单调增区间为（0，+∞）；
（3） 当a＜0时，F(x)=2ax2+a+1的图象为开口向下的抛物线，且Δ=-8a2-8a.
（ⅰ） 若Δ=-8a2-8a≤0，即a≤-1时，如图：则y=f(x)的单调减区间为（0，+∞）；
图（3）-（ⅰ）图（3）-（ⅱ）
（ⅱ） 若Δ=-8a2-8a＞0，即-1＜a＜0时，由F（x）=0得x2=-a+12a，如图：则y=f(x)的单调增区间为0，-a+12a，单调减区间为-a+12a，+∞.
综上，当a≥0时，y=f(x)的单调增区间为（0，+∞）；当a≤-1时，y=f(x)的单调减区间为（0，+∞）；当-1＜a＜0时，y=f(x)的单调增区间为0，-a+12a，单调减区间为-a+12a，+∞.
类型三求函数的极值、最值
4. 已知函数f（x）=x3+mx2+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. 若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1，a+1）内的极值.
分析：极值反映了函数在某一点附近的大小情况，极值点附近两侧的导数符号相反。
解答：易得：m=-3，n=0，则f′(x)=3x2-6x，x1=0，x2=2，且区间（a-1，a+1）的长度为2.
如图：
（1） 若a-1＜0
0＜a+1＜2，即0＜a＜1时有极小值f(0)=-2；（2） 若a-1=0
a+1=2，即a=1时，无极值；
（3） 若a-1＜2
2＜a+1，即1＜a＜3时，有极大值f(2)=-6；
（4） 若a-1≥2，即a≥3时，无极值；
综上：当0＜a＜1时，有极小值f(0)=-2；当a=1时无极值；当1＜a＜3时，有极大值f(2)=-6；当a≥3无极值.
类型四恒成立、证明函数大小问题
5. 设a为实数，当a＞ln2-1且x＞0时，求证：ex＞x2-2ax+1．
分析：证明函数f(x)＞g(x)的问题，往往需构造函数F(x)=f(x)-g(x)，证明F(x)min＞0即可；若F(x)min实在难以求出，也可以降低要求，转证“命题”的充分条件成立，即f(x)min＞g(x)max.
解答：令F(x)=ex-（x2-2ax+1），x＞0，则F′（x）=ex-2x+2a，a＞ln2-1.
下面研究函数f(x)=ex-2x+2a的性质.
由f′（x）=ex-2的简图知，x=ln2为函数f(x)=ex-2x+2a的极小值点，即f(ln2)=2-2ln2+2a为函数f(x)=ex-2x+2a的最小值.
因a＞ln2-1，所以y=f(x)最小值f(ln2)=2-2ln2+2a＞0.
则x＞0时，F′（x）=ex-2x+2a＞f(ln2)＞0，F（x）=ex-(x2-2ax+1)单调递增，有最小值F(0)=0.
那么x＞0时，有F(x)＞F(0)min=0，即ex＞x2-2ax+1成立.
补充练习：
1. （2010山东卷）已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1，a∈R，当a≤12时，讨论f(x)的单调性.
2. （2010北京卷）已知函数f(x)=ln(1+x)-x+k2x2（k≥0）， 求f(x)的单调区间.
3. 函数f(x)=ln|x|(x≠0)，g(x)=1f′(x)+af′(x)(x≠0)，若a＞0,函数y=g(x)在（0，+∞）上的最小值是2 ,求a值.
4.函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8，对任意的x∈（0，+∞）都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文