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【摘要】数学抽象素养是高中生自我发展的基本素养之一，智慧课堂设备是未来教育的一个发展趋势，教师要优化“象由景生，三思后行”的每个教学环节，合理选用教学资源、教学辅助手段，培养并提升学生的数学抽象素养。
【关键词】数学抽象;智慧课堂;微课;高中
数学抽象素养位于高中数学六大核心素养的首位，是学生自身发展、培养理性思维、进行深度学习的重要基本素养。把各种问题情景转化为纯数学问题，从具体的数量之间的关系、图形之间的关系或数量与图形的关系中抽象出具体的数学概念、抽象出概念与概念之间的关系、抽象出一般的规律或结构，最后由学生用自己的文字、符号、语言进行数学表征，就是数学抽象的主要过程。在高中数学学习阶段，主要表现为能抽象出数学的概念、命题、方法或体系，简而言之就是在把握事物的本质的基础上，数学地解决问题。
笔者结合我校应用科大讯飞智慧课堂设备的具体实践，谈谈在高中数学日常教学中培养学生数学抽象素养的几点建议：
一、重视回归问题情境的设计，达成培养数学抽象素养的更高目标
我把智慧课堂环境下，培养学生数学抽象素养的课堂教学模式归结为“象由景生，三思后行”。“象由景生”即第一步，从问题情景中抽象概括出数量或图形等元素，以及这些元素之间的关系;“三思”即第二步，对抽象的问题进行研究、分析、概括;“后行”即第三步，尝试应用研究成果解决问题，并最终回归到问题的情景中。新课程下，教师要重视并设计好“后行”环节，把抽象得到的数学知识、方法回归到第一步创设的情境中，甚至可以对情境再作适当剖析或扩充，这才更有利于发展学生的抽象素养。
以《椭圆的定义》为例，第一步的问题情景大致可分为两类：一类是播放类似神舟升空或生活中的椭圆的素材，以激发学生热爱自然科学的兴趣或感受数学与生活息息相关的作用。另一类就是应用数学自身的问题为情景，提出问题串，激发学生的探究欲望。教师根据学生的情况选择不同类型的素材后，切记不能只让素材起“抛砖”的作用，我们必须对素材作更进一步的研究，在学生经历“三思”后，如何回归到素材的问题情境中，“引”出更精致的“玉”，升华至达成培养抽象素养的目标。是否考虑把椭圆的定义回归到神舟升空后看到的太阳系中的椭圆问题？该问题中焦点在哪里？长轴、短轴对应哪些位置关系？纯数学问题的回归中，是否可以考虑有没有其它画椭圆的方法？有没有其它椭圆的定义等等。
总的来说，尽管有些素材，要最终回归到用数学去解决的路途有点“曲折”或“遥远”，但要扎实地培养学生的抽象素养，适应新课程目标培养数学人的要求，教师是需要对选用的素材作进一步的研究、扩充，以体现数学的应用价值。
二、根据教学内容，优选辅助教学软件或教具
科大讯飞的智慧课堂教学平台，整合了智学网、班级空间、数学实验室等多种工具，教师还可以在平板中安装其它软件，如绘图方面我推荐使用GeoGebra（下面简称GGB），课件演示方面我更常用“希沃白板”，备课过程若需要获取官方资源，不妨试试在“学习强国”上搜一搜。此外，教师不要忘记传统的教学工具和微课的优缺点，合理选择辅助软件和教具以优化教学效果。
1.GGB软件轻松实现动态演示，有利用培养学生的抽象素养。对比几何画板的收费和平板使用的局限性，GGB作为一个免费的软件不但能实现PC端和平板的同步外，还能轻松辅助师生把复杂问题简单化。例如要实现圆与圆的相交弦问题转化为直线与圆的弦长问题时，我们只需反复按其中一个圆的方程前的小圆点，就轻松实现此圆反复的“消失——再現”效果，学生可以直观感受到这种转化思想的本质，老师也无需制作任何控件、动画。又如学习直线与圆的位置关系时，能借助参数实现动态变化过程，让学生轻松抽象出圆心到直线的距离和圆半径的大小关系的方法。处理立体几何中截面、外接圆、翻拍等经典问题时，GGB软件能自带的坐标系旋转、截面平面化、动态折叠等效果，使原本在师生大脑中复杂图形可视化，从而搭建了一道思维碰撞的桥梁。
2.希沃白板制作便捷，课件操作自由化。PPT课件在平板上显示会经常出现错位或动画效果不理想等问题，授课过程中调整设计不太方便。我一般会提前把课堂上需要的材料，包括学生在智学网上拍照提交的典型解法、典型错误等利用截图工具粘贴到白板中，一页一个问题，把需要首先呈现的调整到方便显示的大小，把各类答案缩小为小图，上课过程中随时把图片进行放大、缩小、置顶，可以随讲评随调整版面，哪怕遇到棘手的数学公式或信息量大的题目，也可免省下调试动画的时间。例如在《对数的定义》第一课时中，关于指数式与对数式的互换中，我把底、指数（对数）、幂（真数）、对数符号变为一个个对象，课堂上让学生通过移动、摆放、放大和缩小的活动过程，加深对数概念的理解。此外，希沃白板在PC端制作的课件能自动同步到平板，在网络畅通的智慧课堂环境下，免除课件传输的麻烦;希沃白板制作思维导图，更有着PPT无法比拟的优势。
3.从“学习强国”平台搜索官方发布的资源使数学抽象变得更有说服力。因疫情而强大起来的线上教学资源对一线教师造成一定的挑战，但也给我们优化自己的教学设计更多参考。在具体处理某类教学难点问题时，除了“一师一优”课平台外，“学习强国”中的在线课堂不但给高中一线教师同课题的参考教学设计，还可以补充拓展大学中相关知识的学习。有时在问题情景的回归中，想得到一些更精准的信息或处理好的数据，可能通过“学习强国”的一二级平台发布的信息找到。例如我与学生共同学习统计时，我用到我国生态环境公布的关于2017年和2018年长江流域水质情况为背景素材，引导学生抽象出统计图表对处理数据统计作用和读取图表获取信息的方法后，我再次回归到问题，利用搜到的关于我们从2013年起我国关注生态环境治理，到2017年习近平总书记视察江苏徐州，到2021年新发布的长江流域于2020年首次消除V类水体的治理动态展示给学生，引导学生通过圈画材料中的数据信息，实实在在感受到数学的魅力。 4.学生随手可得的文具是培养学生抽象素养最实用的道具。以《空间点、线、面位置关系》为例，我们不能忘记没有多媒体设备时，我们是如何抽象出异面直线的概念的过程。学生利用纸、笔、桌面的摆放验证自己的猜想，感受平面的无限延展性，抽象出空间点、线、面位置关系。结合智慧课堂设备的优势，教师实拍或录制学生摆放的过程，把结论成品拍成图片对比展示，进而引导学生思辨、剖析、感受、纠错。笔者以往有很多学生总错把异面直线误认为是线面位置关系，自从应用“实物投影”录像功能，学生边摆放，我边引导学生分析直线与直线位置关系的分类和定义后，确保了课堂上认真听课的学生对异面直线的理解。
又如空间四边形问题，部分学生很难从平面图形中产生四边形的空间感，在实际教学中可以让学生两两合作，一名学生每只手拿两支笔架起空间四边形，另一人用其它纸笔摆放题目中的其它条件，教师在堂上边指导学生动手操作，边摄录，抽象后利用“对比讲评”功能，让学生实现“题目——空间图形——空间图形平面表示”的数学抽象进阶提升。课后，我还会把课堂上录制的视频和图片为素材，制作章节小结的微课，在复习课时作为前置素材，唤醒学生的最近发展区，在复习课堂上，再把空间四边形问题提升，让学生从需要实物过渡到直接手绘图甚至是脑海中想象图来解决具体问题。积累解决这类问题的从具体到抽象的活动经验，获得数学概念，自主构建数学模型。
5.合理使用微课视频资源，提高前置和课后巩固的作用。微课是当前很流行的教学资源之一，我自己遇到自身教学上的弱项时，对自己讲解无信心时，或当课堂上操作起来比较复杂的内容时，我会选用网上的微课，或自已录制微课。但多数以课前或课后供学生使用为主，因为优质微课的语言精练，学生需要自主按暂停、回看来跟着微课进行思考或整理，才更满足学生的个性化需求。
三、充分发挥即时反馈的强大功能，实现评价效果最优化
例如《函数的奇偶性》一课中，如何引导学生从图形的对称，转为数量的对称，再表征为数学概念和符号语言，最后，应用所抽象得到的数学概念解决相关的数学问题？这过程中，我们可以充分应用课堂互动、讨论、设置投票、答题等方式，即时收集学生对问题的理解和本节课的收获。本人在引导学生观察几种图形特征时，启用了讨论功能，让学生先跟同学交流，然后小组长把小组内达成一致的结论录入自己平板的讨论框，限时结束后，再汇总各组讨论结果，课堂氛围活跃，而且避免了假探究。在典型例题部分，我以選择题的形式发布，让学生1分钟内提交判断这两个函数（1）y=
【关键词】数学抽象;智慧课堂;微课;高中
数学抽象素养位于高中数学六大核心素养的首位，是学生自身发展、培养理性思维、进行深度学习的重要基本素养。把各种问题情景转化为纯数学问题，从具体的数量之间的关系、图形之间的关系或数量与图形的关系中抽象出具体的数学概念、抽象出概念与概念之间的关系、抽象出一般的规律或结构，最后由学生用自己的文字、符号、语言进行数学表征，就是数学抽象的主要过程。在高中数学学习阶段，主要表现为能抽象出数学的概念、命题、方法或体系，简而言之就是在把握事物的本质的基础上，数学地解决问题。
笔者结合我校应用科大讯飞智慧课堂设备的具体实践，谈谈在高中数学日常教学中培养学生数学抽象素养的几点建议：
一、重视回归问题情境的设计，达成培养数学抽象素养的更高目标
我把智慧课堂环境下，培养学生数学抽象素养的课堂教学模式归结为“象由景生，三思后行”。“象由景生”即第一步，从问题情景中抽象概括出数量或图形等元素，以及这些元素之间的关系;“三思”即第二步，对抽象的问题进行研究、分析、概括;“后行”即第三步，尝试应用研究成果解决问题，并最终回归到问题的情景中。新课程下，教师要重视并设计好“后行”环节，把抽象得到的数学知识、方法回归到第一步创设的情境中，甚至可以对情境再作适当剖析或扩充，这才更有利于发展学生的抽象素养。
以《椭圆的定义》为例，第一步的问题情景大致可分为两类：一类是播放类似神舟升空或生活中的椭圆的素材，以激发学生热爱自然科学的兴趣或感受数学与生活息息相关的作用。另一类就是应用数学自身的问题为情景，提出问题串，激发学生的探究欲望。教师根据学生的情况选择不同类型的素材后，切记不能只让素材起“抛砖”的作用，我们必须对素材作更进一步的研究，在学生经历“三思”后，如何回归到素材的问题情境中，“引”出更精致的“玉”，升华至达成培养抽象素养的目标。是否考虑把椭圆的定义回归到神舟升空后看到的太阳系中的椭圆问题？该问题中焦点在哪里？长轴、短轴对应哪些位置关系？纯数学问题的回归中，是否可以考虑有没有其它画椭圆的方法？有没有其它椭圆的定义等等。
总的来说，尽管有些素材，要最终回归到用数学去解决的路途有点“曲折”或“遥远”，但要扎实地培养学生的抽象素养，适应新课程目标培养数学人的要求，教师是需要对选用的素材作进一步的研究、扩充，以体现数学的应用价值。
二、根据教学内容，优选辅助教学软件或教具
科大讯飞的智慧课堂教学平台，整合了智学网、班级空间、数学实验室等多种工具，教师还可以在平板中安装其它软件，如绘图方面我推荐使用GeoGebra（下面简称GGB），课件演示方面我更常用“希沃白板”，备课过程若需要获取官方资源，不妨试试在“学习强国”上搜一搜。此外，教师不要忘记传统的教学工具和微课的优缺点，合理选择辅助软件和教具以优化教学效果。
1.GGB软件轻松实现动态演示，有利用培养学生的抽象素养。对比几何画板的收费和平板使用的局限性，GGB作为一个免费的软件不但能实现PC端和平板的同步外，还能轻松辅助师生把复杂问题简单化。例如要实现圆与圆的相交弦问题转化为直线与圆的弦长问题时，我们只需反复按其中一个圆的方程前的小圆点，就轻松实现此圆反复的“消失——再現”效果，学生可以直观感受到这种转化思想的本质，老师也无需制作任何控件、动画。又如学习直线与圆的位置关系时，能借助参数实现动态变化过程，让学生轻松抽象出圆心到直线的距离和圆半径的大小关系的方法。处理立体几何中截面、外接圆、翻拍等经典问题时，GGB软件能自带的坐标系旋转、截面平面化、动态折叠等效果，使原本在师生大脑中复杂图形可视化，从而搭建了一道思维碰撞的桥梁。
2.希沃白板制作便捷，课件操作自由化。PPT课件在平板上显示会经常出现错位或动画效果不理想等问题，授课过程中调整设计不太方便。我一般会提前把课堂上需要的材料，包括学生在智学网上拍照提交的典型解法、典型错误等利用截图工具粘贴到白板中，一页一个问题，把需要首先呈现的调整到方便显示的大小，把各类答案缩小为小图，上课过程中随时把图片进行放大、缩小、置顶，可以随讲评随调整版面，哪怕遇到棘手的数学公式或信息量大的题目，也可免省下调试动画的时间。例如在《对数的定义》第一课时中，关于指数式与对数式的互换中，我把底、指数（对数）、幂（真数）、对数符号变为一个个对象，课堂上让学生通过移动、摆放、放大和缩小的活动过程，加深对数概念的理解。此外，希沃白板在PC端制作的课件能自动同步到平板，在网络畅通的智慧课堂环境下，免除课件传输的麻烦;希沃白板制作思维导图，更有着PPT无法比拟的优势。
3.从“学习强国”平台搜索官方发布的资源使数学抽象变得更有说服力。因疫情而强大起来的线上教学资源对一线教师造成一定的挑战，但也给我们优化自己的教学设计更多参考。在具体处理某类教学难点问题时，除了“一师一优”课平台外，“学习强国”中的在线课堂不但给高中一线教师同课题的参考教学设计，还可以补充拓展大学中相关知识的学习。有时在问题情景的回归中，想得到一些更精准的信息或处理好的数据，可能通过“学习强国”的一二级平台发布的信息找到。例如我与学生共同学习统计时，我用到我国生态环境公布的关于2017年和2018年长江流域水质情况为背景素材，引导学生抽象出统计图表对处理数据统计作用和读取图表获取信息的方法后，我再次回归到问题，利用搜到的关于我们从2013年起我国关注生态环境治理，到2017年习近平总书记视察江苏徐州，到2021年新发布的长江流域于2020年首次消除V类水体的治理动态展示给学生，引导学生通过圈画材料中的数据信息，实实在在感受到数学的魅力。 4.学生随手可得的文具是培养学生抽象素养最实用的道具。以《空间点、线、面位置关系》为例，我们不能忘记没有多媒体设备时，我们是如何抽象出异面直线的概念的过程。学生利用纸、笔、桌面的摆放验证自己的猜想，感受平面的无限延展性，抽象出空间点、线、面位置关系。结合智慧课堂设备的优势，教师实拍或录制学生摆放的过程，把结论成品拍成图片对比展示，进而引导学生思辨、剖析、感受、纠错。笔者以往有很多学生总错把异面直线误认为是线面位置关系，自从应用“实物投影”录像功能，学生边摆放，我边引导学生分析直线与直线位置关系的分类和定义后，确保了课堂上认真听课的学生对异面直线的理解。
又如空间四边形问题，部分学生很难从平面图形中产生四边形的空间感，在实际教学中可以让学生两两合作，一名学生每只手拿两支笔架起空间四边形，另一人用其它纸笔摆放题目中的其它条件，教师在堂上边指导学生动手操作，边摄录，抽象后利用“对比讲评”功能，让学生实现“题目——空间图形——空间图形平面表示”的数学抽象进阶提升。课后，我还会把课堂上录制的视频和图片为素材，制作章节小结的微课，在复习课时作为前置素材，唤醒学生的最近发展区，在复习课堂上，再把空间四边形问题提升，让学生从需要实物过渡到直接手绘图甚至是脑海中想象图来解决具体问题。积累解决这类问题的从具体到抽象的活动经验，获得数学概念，自主构建数学模型。
5.合理使用微课视频资源，提高前置和课后巩固的作用。微课是当前很流行的教学资源之一，我自己遇到自身教学上的弱项时，对自己讲解无信心时，或当课堂上操作起来比较复杂的内容时，我会选用网上的微课，或自已录制微课。但多数以课前或课后供学生使用为主，因为优质微课的语言精练，学生需要自主按暂停、回看来跟着微课进行思考或整理，才更满足学生的个性化需求。
三、充分发挥即时反馈的强大功能，实现评价效果最优化
例如《函数的奇偶性》一课中，如何引导学生从图形的对称，转为数量的对称，再表征为数学概念和符号语言，最后，应用所抽象得到的数学概念解决相关的数学问题？这过程中，我们可以充分应用课堂互动、讨论、设置投票、答题等方式，即时收集学生对问题的理解和本节课的收获。本人在引导学生观察几种图形特征时，启用了讨论功能，让学生先跟同学交流，然后小组长把小组内达成一致的结论录入自己平板的讨论框，限时结束后，再汇总各组讨论结果，课堂氛围活跃，而且避免了假探究。在典型例题部分，我以選择题的形式发布，让学生1分钟内提交判断这两个函数（1）y=