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《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标中具体阐述问题解决时提出“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”，而“变教为学”的主旨也在于让学生自己“发现”和“发明”。本着这样的理念，我们在执教人教版“数学广角——鸡兔同笼”问题时，产生了新的想法。
一、放手——培养学生自主解决问题的意识
【例题】笼子里有鸡、兔共8只，腿有26条，鸡、兔各几只？
在基本理解题意的基础上，放手让学生自己想办法解答，在交流汇报中梳理、归纳、提炼。设计意图：尊重学生，给学生充分的思考和交流时间，从学生最朴实的“猜测”的方法基础上，引出列表法，在此过程中让学生发现变和不变的规律；同时，渗透优化的思想，让学生认识到列表方法的局限，引出“极端假设”的方法。
1.猜测（列表）法
生：我是猜的。我猜有5只鸡、3只兔，这样算出来腿只有22条。
师：那不符合原题的信息，怎么办呢？
生：我发现腿数少了，因为兔是4条腿，鸡只有2条腿，应该是兔的只数猜少了。
师：哦，看来你的猜测和推理是有根有据的，接着你又怎么办？
生：我就减少1只鸡，增加1只兔，变成4只鸡4只兔，这样算出来腿就是24条了。但是腿数还是少了2条，我又减少1只鸡，增加1只兔：变成3只鸡5只兔，这样算出来腿就是26条了。
教师根据学生的回答，完成表格的填写，并引导学生及时观察、分析表格：有什么变化？什么没变？
（1）鸡和兔的只数有变化，腿数有变化。为什么会有这样的变化？（引出：每把1只鸡换成1只兔，都会增加2条腿；反之，每把1只兔换成1只鸡，就会减少2条腿）
（2）鸡和兔的总只数没有变化，合起来都是8只。
师：这个猜测列表然后一步一步调整的方法真是好，居然解决了一道千年趣题。那以后我们就用这种方法来解决类似的问题，如何？（引出：不断调整很麻烦，从而引出画图法）
2.画图法
师：说说你画的是什么意思。
生：我先画了8只鸡，共有16条腿，发现少了10条腿。因为1只鸡比1只兔少2条腿，我就2条2条地加腿，把鸡1只1只变成兔。要增加10条腿，就要把5只鸡换成兔。
生：我和她画的相反，我先画了8只兔，共有32条腿，发现多了6条腿。因为1只兔比1只鸡多2条腿，我就2条2条地减腿，要减少6条腿，把3只兔换成鸡就可以了。
师：这样画图似乎比猜测调整来调整去的方法要快捷些。那以后我们就用这种方法来解决类似的问题，又如何？（引出：画图也比较麻烦，从而引出用算式解决问题的方法，同时进一步完善表格，提炼为：假设的思想）
3.算式法
（1）假设全是鸡。
8×2=16条（一共应该有多少条腿）
26-16=10条（比实际少了的腿，因为其中的兔也被假设成了鸡，所以腿就会少一些）
4-2=2条（1只兔被假设成1只鸡会少几条腿）
10÷2=5只（兔）
8-5=3只（鸡）
（2）假设全是兔（解题过程略）。
师小结（如下图）：无论猜测列表法、画图法、算式法，其实都是用假设的思想来解决问题。
二、推进——培养学生创新解决问题的方法
至此，学生的思维基本上就局限在假设的层面，很多教师也就此打住，用学生想到的上述方法练习深化。但如果教师再往前推进一步，创设一定的情境，能有效地发展学生的创新意识，让学生在创新的过程中体验解题的快乐，在解题的过程中发展创新意识。更可贵的是，就此而打破了传统的“鸡兔同笼”用假设法、方程法解答的瓶颈，极大地拓宽了学生的思维。
（一）创设问题情境，引发创新思考
草地上有一群鸡兔在玩耍，突然，鸡对兔说：“我们的本领可大了，可以做金鸡独立。”说着每只鸡就抬起1只脚，只用1只脚站着。兔子们见了，也不甘示弱：“这有什么了不起，看看我们兔子作揖。”说完，每只兔就把2只前脚提起来，只留下2只后脚站着。这个故事实际上就是“鸡兔同笼问题”中的“抬脚法”。
教师可以激励学生：由此，你们还能想出解决这个问题的其他方法吗？
（二）理解“多一原理”，巧妙解决问题
关于鸡兔同笼的问题，在解答的过程中，一般都用假设法解答（含列表法、画图法），或列方程解答，实际上如果理解了抬脚法，用抬脚法来解答更为简单。解法如下：
26÷2=13条（都抬起一半的腿后，还剩下多少条）
13-8=5只（兔）
8-5=3只（鸡）
实际上，如果鸡和兔都抬起了一半的腿，腿的总数就变成了原来的一半。这时产生了一个结果：对于鸡来讲，1只鸡还余1条腿，即鸡腿的条数和鸡头的只数就一一对应了；但1只兔还余下了2条腿，兔余下的腿数比兔的只数 “多1”。因为鸡腿的条数和鸡的只数是一一对应的，有兔才会出现多腿的情况，有1只兔就会多1条腿，有几只兔就会多几条腿。反之，如果多了几条腿，就有几只兔。这个原理我们可以称之为“多一原理”。所谓“多一”，指两种事物相比较，一种事物某个方面的数量和这种事物的个数相等，另一种事物这个方面的数量刚好比它的个数多一。在这种特殊情况下，用这两种事物这个方面的总数量减去两种事物的总个数，结果就刚好是“多一”的那种事物的个数。
三、变通——提升学生灵活解决问题的能力
在实际生活中，符合这种条件的事物实际上比较少，但是，如果我们想办法变通，使它们产生“多一”特性，就能比较简单地解答一些实际问题。
【例题】30名同学共植树80棵，男同学每人植3棵，女同学每人植2棵，男、女同学各几人？ 初一看，这道题没有“多一”特性。细分析：如果用总棵数除以2，女同学的人数和棵数就一一对应了，男同学每人对应的就不是2棵，而是1.5棵，多出了半棵，即每0.5棵对应就有一个男同学了。解答方法如下：
80÷2=40棵
40-30=10棵
10÷0.5=20个（男同学）
30-20=10个（女同学）
实际上还可以再变通一下，第一步不除以2，而把每个同学植树的棵数都减去1，解答会更简单。把每个同学植树的棵数减少1后，女同学每个人就只植树1棵，出现了棵数和人数一一对应；男同学每个人则植树2棵，植树棵数刚好比人数多1，多了几棵，就有几个男同学。解答方法如下：
80-30=50棵
50-30=20个（男同学）
30-20=10个（女同学）
【例题】小明用同样长的80根小棒摆正方形和正五边形共18个。正方形和正五边形各摆了几个？
在这道题中，由于正方形用的是4根小棒，正五边形用的是5根小棒，因此，不管除以2，还是减去1，都不可能得到“多一”的特性。但如果进一步思考就会发现，有以下两种变通方法。
变通一：用总根数除以4，正方形的个数和小棒根数就一一对应了，每个正五边形对应的小棒就不是2根，而是5÷4=1.25（根），多出了0.25根，即每0.25根对应就有一个正五边形了。解答方法如下：
80÷4=20根
20-18=2根
5÷4-1=0.25根
2÷0.25=8个（正五边形）
18-8=10个（正方形）
变通二：把正方形和正五边形都减去三条边，就得到正五边形“多一”这个特性。这时正方形个数和边数一一对应，正五边形剩下的边数刚好比正五边形的个数多1。解答方法如下：
3×18=54根（一共要减去的根数）
80-54=26根（还剩下的根数）
26-18=8个（正五边形）
18-8=10个（正方形）
由此可见，“多一原理”实际上运用的范围还是比较广的。不管怎样，解决问题才是硬道理。只要在解决实际问题时，结合实际灵活去思考问题，不害怕困难，敢于去挑战困难，许多题的解法可以说是“殊途同归”的。
总之，创新无处不在，解题奥妙无穷！在“变教为学”的课堂上，教师永远不要低估学生的力量！
（四川省乐山市教育科学研究所 614000
四川省乐山市夹江县土门小学 614000）
一、放手——培养学生自主解决问题的意识
【例题】笼子里有鸡、兔共8只，腿有26条，鸡、兔各几只？
在基本理解题意的基础上，放手让学生自己想办法解答，在交流汇报中梳理、归纳、提炼。设计意图：尊重学生，给学生充分的思考和交流时间，从学生最朴实的“猜测”的方法基础上，引出列表法，在此过程中让学生发现变和不变的规律；同时，渗透优化的思想，让学生认识到列表方法的局限，引出“极端假设”的方法。
1.猜测（列表）法
生：我是猜的。我猜有5只鸡、3只兔，这样算出来腿只有22条。
师：那不符合原题的信息，怎么办呢？
生：我发现腿数少了，因为兔是4条腿，鸡只有2条腿，应该是兔的只数猜少了。
师：哦，看来你的猜测和推理是有根有据的，接着你又怎么办？
生：我就减少1只鸡，增加1只兔，变成4只鸡4只兔，这样算出来腿就是24条了。但是腿数还是少了2条，我又减少1只鸡，增加1只兔：变成3只鸡5只兔，这样算出来腿就是26条了。
教师根据学生的回答，完成表格的填写，并引导学生及时观察、分析表格：有什么变化？什么没变？
（1）鸡和兔的只数有变化，腿数有变化。为什么会有这样的变化？（引出：每把1只鸡换成1只兔，都会增加2条腿；反之，每把1只兔换成1只鸡，就会减少2条腿）
（2）鸡和兔的总只数没有变化，合起来都是8只。
师：这个猜测列表然后一步一步调整的方法真是好，居然解决了一道千年趣题。那以后我们就用这种方法来解决类似的问题，如何？（引出：不断调整很麻烦，从而引出画图法）
2.画图法
师：说说你画的是什么意思。
生：我先画了8只鸡，共有16条腿，发现少了10条腿。因为1只鸡比1只兔少2条腿，我就2条2条地加腿，把鸡1只1只变成兔。要增加10条腿，就要把5只鸡换成兔。
生：我和她画的相反，我先画了8只兔，共有32条腿，发现多了6条腿。因为1只兔比1只鸡多2条腿，我就2条2条地减腿，要减少6条腿，把3只兔换成鸡就可以了。
师：这样画图似乎比猜测调整来调整去的方法要快捷些。那以后我们就用这种方法来解决类似的问题，又如何？（引出：画图也比较麻烦，从而引出用算式解决问题的方法，同时进一步完善表格，提炼为：假设的思想）
3.算式法
（1）假设全是鸡。
8×2=16条（一共应该有多少条腿）
26-16=10条（比实际少了的腿，因为其中的兔也被假设成了鸡，所以腿就会少一些）
4-2=2条（1只兔被假设成1只鸡会少几条腿）
10÷2=5只（兔）
8-5=3只（鸡）
（2）假设全是兔（解题过程略）。
师小结（如下图）：无论猜测列表法、画图法、算式法，其实都是用假设的思想来解决问题。
二、推进——培养学生创新解决问题的方法
至此，学生的思维基本上就局限在假设的层面，很多教师也就此打住，用学生想到的上述方法练习深化。但如果教师再往前推进一步，创设一定的情境，能有效地发展学生的创新意识，让学生在创新的过程中体验解题的快乐，在解题的过程中发展创新意识。更可贵的是，就此而打破了传统的“鸡兔同笼”用假设法、方程法解答的瓶颈，极大地拓宽了学生的思维。
（一）创设问题情境，引发创新思考
草地上有一群鸡兔在玩耍，突然，鸡对兔说：“我们的本领可大了，可以做金鸡独立。”说着每只鸡就抬起1只脚，只用1只脚站着。兔子们见了，也不甘示弱：“这有什么了不起，看看我们兔子作揖。”说完，每只兔就把2只前脚提起来，只留下2只后脚站着。这个故事实际上就是“鸡兔同笼问题”中的“抬脚法”。
教师可以激励学生：由此，你们还能想出解决这个问题的其他方法吗？
（二）理解“多一原理”，巧妙解决问题
关于鸡兔同笼的问题，在解答的过程中，一般都用假设法解答（含列表法、画图法），或列方程解答，实际上如果理解了抬脚法，用抬脚法来解答更为简单。解法如下：
26÷2=13条（都抬起一半的腿后，还剩下多少条）
13-8=5只（兔）
8-5=3只（鸡）
实际上，如果鸡和兔都抬起了一半的腿，腿的总数就变成了原来的一半。这时产生了一个结果：对于鸡来讲，1只鸡还余1条腿，即鸡腿的条数和鸡头的只数就一一对应了；但1只兔还余下了2条腿，兔余下的腿数比兔的只数 “多1”。因为鸡腿的条数和鸡的只数是一一对应的，有兔才会出现多腿的情况，有1只兔就会多1条腿，有几只兔就会多几条腿。反之，如果多了几条腿，就有几只兔。这个原理我们可以称之为“多一原理”。所谓“多一”，指两种事物相比较，一种事物某个方面的数量和这种事物的个数相等，另一种事物这个方面的数量刚好比它的个数多一。在这种特殊情况下，用这两种事物这个方面的总数量减去两种事物的总个数，结果就刚好是“多一”的那种事物的个数。
三、变通——提升学生灵活解决问题的能力
在实际生活中，符合这种条件的事物实际上比较少，但是，如果我们想办法变通，使它们产生“多一”特性，就能比较简单地解答一些实际问题。
【例题】30名同学共植树80棵，男同学每人植3棵，女同学每人植2棵，男、女同学各几人？ 初一看，这道题没有“多一”特性。细分析：如果用总棵数除以2，女同学的人数和棵数就一一对应了，男同学每人对应的就不是2棵，而是1.5棵，多出了半棵，即每0.5棵对应就有一个男同学了。解答方法如下：
80÷2=40棵
40-30=10棵
10÷0.5=20个（男同学）
30-20=10个（女同学）
实际上还可以再变通一下，第一步不除以2，而把每个同学植树的棵数都减去1，解答会更简单。把每个同学植树的棵数减少1后，女同学每个人就只植树1棵，出现了棵数和人数一一对应；男同学每个人则植树2棵，植树棵数刚好比人数多1，多了几棵，就有几个男同学。解答方法如下：
80-30=50棵
50-30=20个（男同学）
30-20=10个（女同学）
【例题】小明用同样长的80根小棒摆正方形和正五边形共18个。正方形和正五边形各摆了几个？
在这道题中，由于正方形用的是4根小棒，正五边形用的是5根小棒，因此，不管除以2，还是减去1，都不可能得到“多一”的特性。但如果进一步思考就会发现，有以下两种变通方法。
变通一：用总根数除以4，正方形的个数和小棒根数就一一对应了，每个正五边形对应的小棒就不是2根，而是5÷4=1.25（根），多出了0.25根，即每0.25根对应就有一个正五边形了。解答方法如下：
80÷4=20根
20-18=2根
5÷4-1=0.25根
2÷0.25=8个（正五边形）
18-8=10个（正方形）
变通二：把正方形和正五边形都减去三条边，就得到正五边形“多一”这个特性。这时正方形个数和边数一一对应，正五边形剩下的边数刚好比正五边形的个数多1。解答方法如下：
3×18=54根（一共要减去的根数）
80-54=26根（还剩下的根数）
26-18=8个（正五边形）
18-8=10个（正方形）
由此可见，“多一原理”实际上运用的范围还是比较广的。不管怎样，解决问题才是硬道理。只要在解决实际问题时，结合实际灵活去思考问题，不害怕困难，敢于去挑战困难，许多题的解法可以说是“殊途同归”的。
总之，创新无处不在，解题奥妙无穷！在“变教为学”的课堂上，教师永远不要低估学生的力量！
（四川省乐山市教育科学研究所 614000
四川省乐山市夹江县土门小学 614000）