【摘要】积分因子法是求解一阶常微分方程的一个极其重要的方法.在定义微分方程复合型积分因子的基础上，分析了复合型积分因子存在的充分必要条件，讨论了其计算方法，并举例来说明其应用.
　　【关键词】全微分方程；积分因子；通解
　　
　　一、积分因子的定义
　　对于一阶微分方程
　　M（x,y)dx+N(x,y)dy=0,(1)
　　若方程左端恰好是u(x,y)的全微分，即有
　　du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，
　　则称方程(1)为全微分方程，其通解为u(x,y)=C，其中C是任意常数.并且，当M(x,y)，N(x,y)在单连通区域G内具有一阶连续偏导数时，方程(1)成为全微分方程的充分必要条件是
　　My=Nx
　　在G内恒成立.
　　在My≠Nx的情形下，如果存在连续可微函数μ(x,y)≠0，使
　　μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0(2)
　　成为全微分方程，则称μ(x,y)为微分方程(1)的积分因子.
　　引理方程(2)为全微分方程的充分必要条件是
　　(μM)y=(μN)x(3)
　　在G内恒成立.
　　由(3)式，得
　　Nμμx-Mμμy=My-Nx.(4)
　　(4)式亦是连续可微函数μ(x,y)≠0成为方程(1)的积分因子的充分必要条件.
　　二、复合型积分因子及其存在定理
　　若微分方程(1)的积分因子μ(x,y)为
　　μ(x,y)=f(g(p(x),q(y))),(x,y)∈G,
　　其中g(x,y)，p(x)，q(y)为连续可微函数，则称μ(x,y)为微分方程(1)的复合型积分因子.
　　定理微分方程(1)有形如μ(x,y)=f(g(p(x),q(y)))的积分因子的充分必要条件是
　　My-NxNgpp′(x)-Mgqq′(y)=Φ（g),(5)
　　并且积分因子为μ(x,y)=e∫Φ(g)dg，g=g(p(x),q(y)).
　　证明（必要性）若方程(1)有积分因子μ(x,y)=f(g(p(x),q(y)))，设g=g(p(x),q(y))，则由积分因子存在的条件(4)，得
　　f′(g)f(g)［Ngpp′(x)-Mgqq′(y)］=My-Nx，
　　由My≠Nx，可得Ngpp′(x)-Mgqq′(y)≠0，
　　所以My-NxNgpp′(x)-Mgqq′(y)=f′(g)f(g)，
　　令f′(g)f(g)=Φ(g)，
　　即证得(5)式成立，且积分因子为
　　μ(x,y)=f(g)=e∫Φ(g)dg,g=g(p(x),q(y)).
　　（充分性）取二元函数μ(x,y)=e∫Φ(g)dg乘方程(1)的两边，其中Φ(g)由(5)给出，g=g(p(x),q(y))，因为
　　(μM)y=μMy+MμΦ(g)gqq′(y),(μN)x=μNx+NμΦ(g)gpp′(x)，
　　由(5)式，得
　　(μM)y-(μN)x=μ(My-Nx)-μΦ(g)［Ngpp′(x)-Mgqq′(y)］=0，
　　即(μM)y=(μN)x.
　　所以μ(x,y)=e∫Φ(g)dg,g=g(p(x),q(y))為方程(1)的积分因子，即方程(1)有形如μ(x,y)=f(g(p(x),q(y)))的积分因子.
　　推论1微分方程(1)有形如μ(x,y)=f(p(x)+q(y))的积分因子的充分必要条件是
　　My-NxNp′(x)-Mq′(y)=Φ(g),(6)
　　并且积分因子为μ(x,y)=e∫Φ(g)dg，g=p(x)+q(y).
　　推论2微分方程(1)有形如μ(x,y)=f(p(x)q(y))的积分因子的充分必要条件是
　　My-NxNp′(x)q(y)-Mp(x)q′(y)=Φ(g),(7)
　　并且积分因子为μ(x,y)=e∫Φ(g)dg，g=p(x)q(y).
　　推论3微分方程(1)有形如μ(x,y)=fp(x)q(y)的积分因子的充分必要条件是
　　
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