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从事数学课堂教学已接近十八年，作为一名常带毕业班的教师，感觉到在数学第一轮复习及以前课堂教学中，常接触到一个问题：一道数学题目评讲过、练习过多次，可当再次出现时，还是有很多同学出错，通过与老教师及同行不断地探讨及自己的反思，明白了其中的一些原因.课堂上的问题通常是封闭式的，它只有一个正确答案，而教师又容易滑进这么一条路：提出问题之后，就滔滔不绝地重述自己的知识，迫不及待地阐述自己对问题的看法，每一步都获得学生的赞同与喝彩，却总忽略了学生的独立思考.课堂提问也不应有过多的指向性、暗示性，使问题变得窄化，而实际上，较好的方式应当把注意力放在激发学生的思维过程上，而不是急促地迈向结果.教师在课堂上应该提出具有挑战性，同时又适合学生认知水平的问题，具有启发性的问题.这样的问题给学生广阔的思维空间，教师应该因势利导，挖掘其思维潜能，把问题引向纵深，使其能对问题进行推广变换，以拓展知识，点燃学生思维创新.
在课堂上，教师经常采用的方法是借助于例题进行教学，用习题衡量学生掌握知识的情况，设计多种多样的练习，促使学生将知识转化为技能.而笔者由于刚开始教学，没有足够的教学经验，在课堂上讲例题及练习的过程中，通常以解完题目就感觉大功告成，没有过于注意解题过程，忽略了解题后的研究以及适当的总结和归纳，使得学生只知到机械地模仿，而没有掌握一道题目的内涵和它的结构及切入点如何分析更合理，从而增加了学生的负担，尽管练得不少，但课堂效果欠佳，日积月累引发了上面问题的产生.
通过不断的学习和总结，了解到在课堂上无论是讲评例题还是习题，首先要让学生进行思考，然后让他们去说，不应该一开始就把教师事先的想法灌输给学生，这样不但达不到教学效果，反而会适得其反，因为“授之以鱼，不如授之以渔”.所以在课堂上，一定要真正做到以学生为主体，一切活动以调动学生的积极性和主观能动性为出发点，引导学生自主活动，使学生成为认知的主体.当然以学生为主体，并不是让学生放任自流，教师要当好引导者，指导学生如何去发现和探索问题，教师要创设学习环境，创造民主、和谐的课堂气氛，鼓励学生讨论、发表自己的意见、看法，哪怕是错误的.充分让学生参与教学，互相讨论，互相启迪.由于给学生足够的创新、实践、深入思考的时间和空间，充分暴露学生的思维，让其自行发生“碰撞”，越“碰撞”猛烈，认识就越深刻，从而达到比较好的学习效果.
以下几例就是在复习时运用上述感悟在课堂教学中实施时遇到的几个实例，收获很大.
一、在复习“集合”中
例1 集合A＝｛x︱ax2-2x＋a＝0｝中只有一个元素，求实数a的取值范围.
先让学生谈思路：因为只有一个元素，又是一道一元二次方程，所以只要Δ＝b2-4ac＝0，即4-4a2＝0，所以解得a＝±1.笔者在此没有强调该方程的类别（是一元一次还是一元二次），学生也没有提及，这使笔者为下面的题目设下了很好的“伏笔”.集合M＝｛x|kx＝1｝,N＝｛x|x2＝1｝，若M是N的真子集，求实数k的取值.先找了一位学生甲，在黑板上板演例1，如下：
解 ∵只有一个元素，∴Δ＝b2-4ac＝0，即4-4a2＝0，所以解得a＝±1.
答完后学生欣然走回座位，并且得到了大部分同学的认可，而这种解法恰是笔者预料到的典型错误，正好点评.笔者给予适当的引导，问学生：方程ax2-2x＋a＝0是一元二次方程，还是一元一次方程？有的学生答是一元二次方程还有的学生答是一元一次方程，那么到底是一元二次方程还是一元一次方程要分析清楚.由于x2前含字母a，应分a＝0与a≠0进行讨论，并对分类讨论的思想进行回顾，让学生明白何时分类，如何分类.通过教师适时点拨，学生明白了造成错误的原因.然后又喊学生乙去做下一道习题，发现该生能顺利、正确地完成.这样通过以上学生的思维暴露及学生共同参与，既解决了问题，又使得学生对以前学过的知识在运用条件的某些细节有了更深层的认识.
二、在复习“指数函数、对数函数”中
例2 已知f（x）=3x2-2x-1.（1）求函数f（x）的定义域、值域；（2）确定函数f（x）的单调区间.
对我们教师而言，轻易就可看出这是一个复合函数的问题，因此可将函数分解成为我们熟悉的函数如二次函数、指数函数、对数函数等，利用这些熟悉的函数相应的性质来解决问题.
解 f（x）=3u，令u=x2-2x-1,则f（x）=3u.（1）由u=x2-2x-1=（x-1）2-2,当x∈R时，u≥-2,此时函数f（x）=3u，总有意义，所以函数f（x）定义域为R.又由u≥-2，所以3u≥19，所以原函数的值域为19，+∞.（2）u=x2-2x-1在［1，+∞）递增，所以对于任意的1≤x1≤x2都有u1≤u2,所以有3u1≤3u2,即y1≤y2，所以函数f（x）=3x2-2x-1在［1，+∞）递增.同理可得函数f（x）=3x2-2x-1在（-∞，1）上单调递减.但对我们职业中学的学生数学基础来言未必能像我们教师这样很快切入到问题的核心，这就要求老师在复习时，充分调动学生的积极性、主动性，花点时间让学生思考再组织他们互相交流，让学生在解题过程中充分体现他们的思想.对于发生的错误、产生的障碍，教师要逐一剖析，及时纠正.只有加深印象，亲身参与其中，有了自己的体会、感知，才能获得真知，灵活运用.
三、在复习“三角函数”中
例3 求函数y＝sin2x-sinx＋1的最大值与最小值.
将函数转化为基本初等函数，应用基本初等函数的性质，并结合配方法，均值不等式是函数求最值的一般方法.笔者先找学生甲板演，采用的是直接法求解.
解法一 y＝sin2x-sinx＋1＝sin2x-sinx＋14＋34＝sinx-122+34，∴ymax＝3,ymin＝34.
学生乙采用换元法：
解法二 令t＝sinx,∴t∈［-1,1］,则y＝t2-t＋1＝t-12＋34,t∈［-1,1］，则f（-1）＝3,f（1）＝1,f12＝34，∴ymax＝3,ymin＝34.通过两位学生的思考，采用不同的方法求解，加深了学生对一题多解的认识、比较，从中选出最优解.
总之，教师在课堂上剖析解题过程，暴露学生思维，激发学生学习的积极性，可有效地提高学生数学学习的能力，使学生深化对数学的认识和理解，努力培养学生对数学的应用意识及解题能力，提高学生的数学素养和综合素质.
在课堂上，教师经常采用的方法是借助于例题进行教学，用习题衡量学生掌握知识的情况，设计多种多样的练习，促使学生将知识转化为技能.而笔者由于刚开始教学，没有足够的教学经验，在课堂上讲例题及练习的过程中，通常以解完题目就感觉大功告成，没有过于注意解题过程，忽略了解题后的研究以及适当的总结和归纳，使得学生只知到机械地模仿，而没有掌握一道题目的内涵和它的结构及切入点如何分析更合理，从而增加了学生的负担，尽管练得不少，但课堂效果欠佳，日积月累引发了上面问题的产生.
通过不断的学习和总结，了解到在课堂上无论是讲评例题还是习题，首先要让学生进行思考，然后让他们去说，不应该一开始就把教师事先的想法灌输给学生，这样不但达不到教学效果，反而会适得其反，因为“授之以鱼，不如授之以渔”.所以在课堂上，一定要真正做到以学生为主体，一切活动以调动学生的积极性和主观能动性为出发点，引导学生自主活动，使学生成为认知的主体.当然以学生为主体，并不是让学生放任自流，教师要当好引导者，指导学生如何去发现和探索问题，教师要创设学习环境，创造民主、和谐的课堂气氛，鼓励学生讨论、发表自己的意见、看法，哪怕是错误的.充分让学生参与教学，互相讨论，互相启迪.由于给学生足够的创新、实践、深入思考的时间和空间，充分暴露学生的思维，让其自行发生“碰撞”，越“碰撞”猛烈，认识就越深刻，从而达到比较好的学习效果.
以下几例就是在复习时运用上述感悟在课堂教学中实施时遇到的几个实例，收获很大.
一、在复习“集合”中
例1 集合A＝｛x︱ax2-2x＋a＝0｝中只有一个元素，求实数a的取值范围.
先让学生谈思路：因为只有一个元素，又是一道一元二次方程，所以只要Δ＝b2-4ac＝0，即4-4a2＝0，所以解得a＝±1.笔者在此没有强调该方程的类别（是一元一次还是一元二次），学生也没有提及，这使笔者为下面的题目设下了很好的“伏笔”.集合M＝｛x|kx＝1｝,N＝｛x|x2＝1｝，若M是N的真子集，求实数k的取值.先找了一位学生甲，在黑板上板演例1，如下：
解 ∵只有一个元素，∴Δ＝b2-4ac＝0，即4-4a2＝0，所以解得a＝±1.
答完后学生欣然走回座位，并且得到了大部分同学的认可，而这种解法恰是笔者预料到的典型错误，正好点评.笔者给予适当的引导，问学生：方程ax2-2x＋a＝0是一元二次方程，还是一元一次方程？有的学生答是一元二次方程还有的学生答是一元一次方程，那么到底是一元二次方程还是一元一次方程要分析清楚.由于x2前含字母a，应分a＝0与a≠0进行讨论，并对分类讨论的思想进行回顾，让学生明白何时分类，如何分类.通过教师适时点拨，学生明白了造成错误的原因.然后又喊学生乙去做下一道习题，发现该生能顺利、正确地完成.这样通过以上学生的思维暴露及学生共同参与，既解决了问题，又使得学生对以前学过的知识在运用条件的某些细节有了更深层的认识.
二、在复习“指数函数、对数函数”中
例2 已知f（x）=3x2-2x-1.（1）求函数f（x）的定义域、值域；（2）确定函数f（x）的单调区间.
对我们教师而言，轻易就可看出这是一个复合函数的问题，因此可将函数分解成为我们熟悉的函数如二次函数、指数函数、对数函数等，利用这些熟悉的函数相应的性质来解决问题.
解 f（x）=3u，令u=x2-2x-1,则f（x）=3u.（1）由u=x2-2x-1=（x-1）2-2,当x∈R时，u≥-2,此时函数f（x）=3u，总有意义，所以函数f（x）定义域为R.又由u≥-2，所以3u≥19，所以原函数的值域为19，+∞.（2）u=x2-2x-1在［1，+∞）递增，所以对于任意的1≤x1≤x2都有u1≤u2,所以有3u1≤3u2,即y1≤y2，所以函数f（x）=3x2-2x-1在［1，+∞）递增.同理可得函数f（x）=3x2-2x-1在（-∞，1）上单调递减.但对我们职业中学的学生数学基础来言未必能像我们教师这样很快切入到问题的核心，这就要求老师在复习时，充分调动学生的积极性、主动性，花点时间让学生思考再组织他们互相交流，让学生在解题过程中充分体现他们的思想.对于发生的错误、产生的障碍，教师要逐一剖析，及时纠正.只有加深印象，亲身参与其中，有了自己的体会、感知，才能获得真知，灵活运用.
三、在复习“三角函数”中
例3 求函数y＝sin2x-sinx＋1的最大值与最小值.
将函数转化为基本初等函数，应用基本初等函数的性质，并结合配方法，均值不等式是函数求最值的一般方法.笔者先找学生甲板演，采用的是直接法求解.
解法一 y＝sin2x-sinx＋1＝sin2x-sinx＋14＋34＝sinx-122+34，∴ymax＝3,ymin＝34.
学生乙采用换元法：
解法二 令t＝sinx,∴t∈［-1,1］,则y＝t2-t＋1＝t-12＋34,t∈［-1,1］，则f（-1）＝3,f（1）＝1,f12＝34，∴ymax＝3,ymin＝34.通过两位学生的思考，采用不同的方法求解，加深了学生对一题多解的认识、比较，从中选出最优解.
总之，教师在课堂上剖析解题过程，暴露学生思维，激发学生学习的积极性，可有效地提高学生数学学习的能力，使学生深化对数学的认识和理解，努力培养学生对数学的应用意识及解题能力，提高学生的数学素养和综合素质.