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1995年全国高中数学联合竞赛第二试的第二题为: 求一切实数p,使得三次方程: 5x~3-5(p+1)x~2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为自然数。 解 由观察易知x=1为原三次方程的一个自然数根。 由综合除法,原三次方程可降为二次方程5x~2-5px+66p-1=0(*)。 原三次方程的三个根均为自然数←→二次方程(*)的两个根均为自然数。