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【摘 要】 数学思想是对数学知识和方法的本质认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具，数学思想方法的教学在数学教学中是极其重要的。本文就数学教学中遇到的一些典型例题做了归类分析来简要说明常见的几种数学思想在解题中的指导地位及应用。
【关键词】 数学思想 数形结合思想 化归思想
数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它比一般数学概念和数学方法具有更高的适合性和抽象性，因而更深刻、更本质、数学思想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。高中数学教学不仅是传授知识，培养能力，更要对同学们进行“数学思想”的教育，提高其数学素养，以培养更多的符合高校招生要求的人才。这在高考考试大纲的命题中也有这样一条加强思想方法的考查：对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查。从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法。有效地检查考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。那么如何进行数学思想的教育呢？我个人认为应在平时的课堂教学中注意挖掘教材中的数学思想，逐步渗透到学生的思维习惯中。这也应该是教师备课（特别是年级集体备课）的重点。在集体备课中更可结合学生的实际讨论如何进一步引导，教学与练习等细节（又特别是普通中学的慢班）。从而达到渗透思想，提升能力的目的。
１ 等价转化
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
２ 分类讨论
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不重不漏”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。简单地讲，分类讨论的步骤是：确定标准；合理分类；逐类讨论；归纳总结。
３ 数形结合
“数形结合”就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想。数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的。从“数”的严谨性和“形”的直观性两方面思考问题，拓展了解题思路，可起到事半功倍的效果。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
４ 函数思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质有：（fx）、f-（1x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
５ 结语
“数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为”，灵魂支配着行为。从上面列举的一些例题可以看出数学思想在数学学科中的重要性。进行“数学思想”教育，要贯穿于教学过程，结合实际有意识地有条不紊地进行。近几年的高考题对数学思想应用的考察也越来越突出。因此，在平时的教学中教师就应该不断地给学生灌输各种数学思想。
参考文献
１ 徐广华.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学教与学，
2008.02
２ 洪其强.排列组合专题复习典例剖析[J].中学数学教与学，2007.03
【关键词】 数学思想 数形结合思想 化归思想
数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它比一般数学概念和数学方法具有更高的适合性和抽象性，因而更深刻、更本质、数学思想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。高中数学教学不仅是传授知识，培养能力，更要对同学们进行“数学思想”的教育，提高其数学素养，以培养更多的符合高校招生要求的人才。这在高考考试大纲的命题中也有这样一条加强思想方法的考查：对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查。从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法。有效地检查考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。那么如何进行数学思想的教育呢？我个人认为应在平时的课堂教学中注意挖掘教材中的数学思想，逐步渗透到学生的思维习惯中。这也应该是教师备课（特别是年级集体备课）的重点。在集体备课中更可结合学生的实际讨论如何进一步引导，教学与练习等细节（又特别是普通中学的慢班）。从而达到渗透思想，提升能力的目的。
１ 等价转化
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
２ 分类讨论
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不重不漏”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。简单地讲，分类讨论的步骤是：确定标准；合理分类；逐类讨论；归纳总结。
３ 数形结合
“数形结合”就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想。数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的。从“数”的严谨性和“形”的直观性两方面思考问题，拓展了解题思路，可起到事半功倍的效果。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
４ 函数思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质有：（fx）、f-（1x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
５ 结语
“数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为”，灵魂支配着行为。从上面列举的一些例题可以看出数学思想在数学学科中的重要性。进行“数学思想”教育，要贯穿于教学过程，结合实际有意识地有条不紊地进行。近几年的高考题对数学思想应用的考察也越来越突出。因此，在平时的教学中教师就应该不断地给学生灌输各种数学思想。
参考文献
１ 徐广华.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学教与学，
2008.02
２ 洪其强.排列组合专题复习典例剖析[J].中学数学教与学，2007.03