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有幸听了特级教师朱国荣“有余数的除法复习”一课，整节课“以练带理，提升学生思考能力”，让我领略到了朱老师对复习课独到的理解和其“寓深刻的数学学习于生动的学习活动之中”的教学特色。现撷几个教学片段与大家共赏。
片段一 以练带理 突出数学思考的有序性
教师借助多媒体逐题呈现式题：22÷8，34÷4，28÷5，52÷7。学生独立口算完成，并把答案写在练习纸上。
当练习完成后，教师没有直接反馈结果，而是提出问题：如果让你检查结果对不对，用什么方法？
生：用“除数乘商，加上余数”，看是不是等于被除数。
教师顺着学生的说法板书：
商×除数+余数=被除数。
师：有不同意见吗？
生：可以列竖式计算。
教师肯定了列竖式算一遍同样是一种检查的方法后，以算式加以引导：（板书）36÷5=6……6，这个算式的结果对不对？
生：不对。
师：为什么？
生：余数不应该比除数大。
师：那你觉得检查有余数除法的计算结果，先得检查什么？
生：余数。
引导小结：检查有余数除法的答案，先看余数是不是比除数小，然后再根据“商×除数+余数=被除数”的方法来检验。
至此，教师请学生自查刚才计算的结果，然后指名反馈答案（如下图）。
[赏析] 复习课一般有两个基本任务：一是“理”，即理清知识间的联系；二是“练”，即练熟相应的知识技能。因此，“先理后练”已经成为复习课教学的基本模式。朱老师没有机械处理“理”和“练”的关系，而是结合基本训练，以“练”带“理”，巧妙地将“有余数除法”单元的基本内容蕴含在练习中进行了梳理。然后通过提问： “如果让你检查结果对不对，用什么方法？”将被除数、除数、商和余数之间的关系梳理交给了学生；当学生对“余数”的关注不够到位时，又以“36÷5=6……6”这样一个算式判断结果正确与否，引导学生回顾余数和除数之间的关系。最终通过梳理，既让学生体会到检验的必要性，唤起学生对“有余数除法”检验基本步骤的回忆，培养学生有序思考问题的思维习惯，本环节的教学也显得丰满而又扎实。
片段二 辨别比较 突出数学思考的严谨性
问题一：有37颗纽扣，每件衣服要钉5颗，可以钉几件衣服？
问题二：有37千克油，每个油桶能装5千克，至少需要几个油桶？
请先看题思考，再动笔完成。
反馈第1题——
生：37÷5=7（件）……2（颗），答：可以钉7件衣服。
师：你是怎么想的？
生：37颗纽扣钉了7件衣服后，还剩2颗纽扣，不能再钉了。所以可以钉7件。
反馈第2题——
生：37÷5=7（个）……2（千克），答：至少需要7个油桶。
有学生提出反对意见：还有2千克放哪里呢？
师：那你是怎样算的？
生：37÷5=7（个）……2（千克），7+1=8（个）答：至少需要8个油桶。
教师追问：两个问题，都用37÷5=7……2这个算式来解决的，为什么第一道商7不加1，第二道商7要加上1呢？
生：第一道剩下的2颗纽扣不能再钉了，第二道剩下的2千克油，得再用一个桶才能装完。
师：在生活中，像这样算出来的商再加上1的现象还是比较多的，你能举个例子吗？
生：一个铅笔盒只能放8支笔。现在有33支笔要放在这样的铅笔盒内，至少要几个？
师：怎样算？
生1：33÷8=4（个）……1（支），4+1=5（个）。
生2：一辆汽车可坐5人，现在有37人，至少需要多少辆这样的汽车？
师：又怎样算？
生2：37÷5=7（辆）……2（人），7+1=8（辆）。
[赏析]用学过的知识解决实际生活问题，是引导学生感受数学与生活密切联系的重要手段，而选择怎样的问题，既有利于学生感受到数学与生活实际间的联系，又能有利于促进学生对数学知识的深刻理解、数学思维能力进一步提升。朱老师本环节教学给了我们两点启示。一点启示是问题的典型性。作为一节“有余数除法”单元复习课，“衣服钉纽扣”和“油桶装油”这两个问题，其实是与有余数除法相关的典型问题。两个问题虽然都用37÷5=7……2这样一个算式解答，但因为具体生活事件对结果的要求不同，在解释和处理“余数”时，一个需要“去尾”，一个需要“进一”。另一点启示是对比式推进。在上课中朱老师在组织学生分析思考时，始终抓住问题的本质引导学生思考，在分析差异的基础上得出结论。这样的典型问题，对比式教学，有利于学生通过比较抓住事件的关键要素理解问题解决的过程。当学生在说明“钉纽扣问题”的结果是“7件”时说“还剩2颗纽扣，不能再钉了”，在说明“装油问题”的结果从“7个”变换成“8个”时提出“还有2千克放哪里呢”这个问题，学生对问题的本质已经了然于胸。而这也正是学生在思维发展过程中，全面考虑问题意识与分析问题能力培养极佳的历练过程。
片段三 提升练习 实现数学思考的深刻性
教师谈话交代情境：公园里租游船，每艘游船上只能坐4位嘉宾，且嘉宾的位置作了编号（如下图）：
提出问题：我们每位同学都有学号吧。如果我们班全体同学去，要求按学号顺序坐船，你觉得你应该坐在哪条船的几号嘉宾位置？
学生思考后交流。
师：1号同学坐在哪里？
生：第1条船的1号嘉宾位置。
师：8号同学坐在哪个位置？
生：第2条船的4号嘉宾位置。
师：30号同学，该坐哪个位置？请你帮忙算一算。
学生独立完成后指名反馈：30÷4=7（条）……2（人）
师：看了算式，你觉得他坐在哪里？
生：坐在第8条船的2号嘉宾。
师：为什么要坐到第8条船上去了呢？
生：第7条船坐满了，只能坐到第8条上去了。 师：现在每位同学算算自己应该坐在哪里？
学生计算后反馈。
师：坐在1号嘉宾位置的同学，请你站起来。
有一部分学生站了起来。老师请他们说出自己的学号。结果出现了以下学号：
1，21，45，16，13，37，5，41，44，29，9。
师：请你观察一下，有没有混进来的。
生：16号不是。
师：为什么？
生1：16除以4等于4，没有余数。他应该坐在第4条船的4号嘉宾位置上。
生2：44号也不是。44除以4等于11，他应该坐在第11条船的4号嘉宾位置上。
生3：我还知道了一种方法，这些数都是4的倍数加1。
师：你的意思是说，这些数减去1，都是4的倍数？
生：是的。
教师继续引导学生思考：坐在1号嘉宾位置上的学号数是不是除以4以后，余数都是1呢？
生：是的。
师：我们是不是可以这样来写呢？
顺势板书成：
嘉宾1号□÷4=（ ）……1。
师：请你思考，坐在2号嘉宾位置上的，结果又是怎样的呢？
生：除以4后余数都是2。
师：是这样的吗？请你验证一下。
学生确认后，教师板书：2号嘉宾位置□÷4=（ ）……2。
师：3号、4号嘉宾位置呢？
生：坐在3号位置的，学号数除以4后余数都是3。
再板书：3号嘉宾位置□÷4= （ ）……3。
生：坐在4号位置的，学号数除以4没有余数。
[赏析]复习课的教学，不应该仅仅是知识内容的简单回顾与重复，它应该在相关知识梳理、提炼的基础上发展与提升。拓展练习一般是复习课提升学生思维力的重要途径。在本环节教学中，“旅游坐船问题”，因为结合了学生的学号，所以激发了学生参与研究的兴趣，在思维层面上有一定的挑战性，需要学生在解决过程中结合“余数”的特征来思考。整个过程，教师通过不同的层次和采用多样的反馈方式拉长了学习研究的过程，实现了引导学生思维走向深刻的目标。
在教学片段三中，我们从对单个学号数研究到对多个学号数分析，从对除以4余数为1的学号数研究到对除以4余数为1、2、3、0的所有学号数的特征的归纳，层层推进，思维逐步提升，既有解决问题的过程，更有整体把握、思考内化的过程。当在对“坐在1号嘉宾位”上的学生报出的学号数进行分析时，有学生突然说：“我还知道了一种方法，这些数都是4的倍数加1。”这样的思维结果，本身就是学生对规律的提炼过程，是对数学知识理解逐渐走向深刻的反映。而正因为学生的思维达到这样的水平以后，教师后续引导得出“除以4余数为1、2、3、0”的规律就显得充分而自然了。我们可以清晰地感受到，此时的练习，已经不仅仅起到熟练计算、培养技能的作用，它更具有发展、提高学生思维能力的价值了。（作者单位：浙江省嘉兴市南湖区教研室）■
□责任编辑 孙恭伟
E—mail：jxjyjxsxl@126.com
片段一 以练带理 突出数学思考的有序性
教师借助多媒体逐题呈现式题：22÷8，34÷4，28÷5，52÷7。学生独立口算完成，并把答案写在练习纸上。
当练习完成后，教师没有直接反馈结果，而是提出问题：如果让你检查结果对不对，用什么方法？
生：用“除数乘商，加上余数”，看是不是等于被除数。
教师顺着学生的说法板书：
商×除数+余数=被除数。
师：有不同意见吗？
生：可以列竖式计算。
教师肯定了列竖式算一遍同样是一种检查的方法后，以算式加以引导：（板书）36÷5=6……6，这个算式的结果对不对？
生：不对。
师：为什么？
生：余数不应该比除数大。
师：那你觉得检查有余数除法的计算结果，先得检查什么？
生：余数。
引导小结：检查有余数除法的答案，先看余数是不是比除数小，然后再根据“商×除数+余数=被除数”的方法来检验。
至此，教师请学生自查刚才计算的结果，然后指名反馈答案（如下图）。
[赏析] 复习课一般有两个基本任务：一是“理”，即理清知识间的联系；二是“练”，即练熟相应的知识技能。因此，“先理后练”已经成为复习课教学的基本模式。朱老师没有机械处理“理”和“练”的关系，而是结合基本训练，以“练”带“理”，巧妙地将“有余数除法”单元的基本内容蕴含在练习中进行了梳理。然后通过提问： “如果让你检查结果对不对，用什么方法？”将被除数、除数、商和余数之间的关系梳理交给了学生；当学生对“余数”的关注不够到位时，又以“36÷5=6……6”这样一个算式判断结果正确与否，引导学生回顾余数和除数之间的关系。最终通过梳理，既让学生体会到检验的必要性，唤起学生对“有余数除法”检验基本步骤的回忆，培养学生有序思考问题的思维习惯，本环节的教学也显得丰满而又扎实。
片段二 辨别比较 突出数学思考的严谨性
问题一：有37颗纽扣，每件衣服要钉5颗，可以钉几件衣服？
问题二：有37千克油，每个油桶能装5千克，至少需要几个油桶？
请先看题思考，再动笔完成。
反馈第1题——
生：37÷5=7（件）……2（颗），答：可以钉7件衣服。
师：你是怎么想的？
生：37颗纽扣钉了7件衣服后，还剩2颗纽扣，不能再钉了。所以可以钉7件。
反馈第2题——
生：37÷5=7（个）……2（千克），答：至少需要7个油桶。
有学生提出反对意见：还有2千克放哪里呢？
师：那你是怎样算的？
生：37÷5=7（个）……2（千克），7+1=8（个）答：至少需要8个油桶。
教师追问：两个问题，都用37÷5=7……2这个算式来解决的，为什么第一道商7不加1，第二道商7要加上1呢？
生：第一道剩下的2颗纽扣不能再钉了，第二道剩下的2千克油，得再用一个桶才能装完。
师：在生活中，像这样算出来的商再加上1的现象还是比较多的，你能举个例子吗？
生：一个铅笔盒只能放8支笔。现在有33支笔要放在这样的铅笔盒内，至少要几个？
师：怎样算？
生1：33÷8=4（个）……1（支），4+1=5（个）。
生2：一辆汽车可坐5人，现在有37人，至少需要多少辆这样的汽车？
师：又怎样算？
生2：37÷5=7（辆）……2（人），7+1=8（辆）。
[赏析]用学过的知识解决实际生活问题，是引导学生感受数学与生活密切联系的重要手段，而选择怎样的问题，既有利于学生感受到数学与生活实际间的联系，又能有利于促进学生对数学知识的深刻理解、数学思维能力进一步提升。朱老师本环节教学给了我们两点启示。一点启示是问题的典型性。作为一节“有余数除法”单元复习课，“衣服钉纽扣”和“油桶装油”这两个问题，其实是与有余数除法相关的典型问题。两个问题虽然都用37÷5=7……2这样一个算式解答，但因为具体生活事件对结果的要求不同，在解释和处理“余数”时，一个需要“去尾”，一个需要“进一”。另一点启示是对比式推进。在上课中朱老师在组织学生分析思考时，始终抓住问题的本质引导学生思考，在分析差异的基础上得出结论。这样的典型问题，对比式教学，有利于学生通过比较抓住事件的关键要素理解问题解决的过程。当学生在说明“钉纽扣问题”的结果是“7件”时说“还剩2颗纽扣，不能再钉了”，在说明“装油问题”的结果从“7个”变换成“8个”时提出“还有2千克放哪里呢”这个问题，学生对问题的本质已经了然于胸。而这也正是学生在思维发展过程中，全面考虑问题意识与分析问题能力培养极佳的历练过程。
片段三 提升练习 实现数学思考的深刻性
教师谈话交代情境：公园里租游船，每艘游船上只能坐4位嘉宾，且嘉宾的位置作了编号（如下图）：
提出问题：我们每位同学都有学号吧。如果我们班全体同学去，要求按学号顺序坐船，你觉得你应该坐在哪条船的几号嘉宾位置？
学生思考后交流。
师：1号同学坐在哪里？
生：第1条船的1号嘉宾位置。
师：8号同学坐在哪个位置？
生：第2条船的4号嘉宾位置。
师：30号同学，该坐哪个位置？请你帮忙算一算。
学生独立完成后指名反馈：30÷4=7（条）……2（人）
师：看了算式，你觉得他坐在哪里？
生：坐在第8条船的2号嘉宾。
师：为什么要坐到第8条船上去了呢？
生：第7条船坐满了，只能坐到第8条上去了。 师：现在每位同学算算自己应该坐在哪里？
学生计算后反馈。
师：坐在1号嘉宾位置的同学，请你站起来。
有一部分学生站了起来。老师请他们说出自己的学号。结果出现了以下学号：
1，21，45，16，13，37，5，41，44，29，9。
师：请你观察一下，有没有混进来的。
生：16号不是。
师：为什么？
生1：16除以4等于4，没有余数。他应该坐在第4条船的4号嘉宾位置上。
生2：44号也不是。44除以4等于11，他应该坐在第11条船的4号嘉宾位置上。
生3：我还知道了一种方法，这些数都是4的倍数加1。
师：你的意思是说，这些数减去1，都是4的倍数？
生：是的。
教师继续引导学生思考：坐在1号嘉宾位置上的学号数是不是除以4以后，余数都是1呢？
生：是的。
师：我们是不是可以这样来写呢？
顺势板书成：
嘉宾1号□÷4=（ ）……1。
师：请你思考，坐在2号嘉宾位置上的，结果又是怎样的呢？
生：除以4后余数都是2。
师：是这样的吗？请你验证一下。
学生确认后，教师板书：2号嘉宾位置□÷4=（ ）……2。
师：3号、4号嘉宾位置呢？
生：坐在3号位置的，学号数除以4后余数都是3。
再板书：3号嘉宾位置□÷4= （ ）……3。
生：坐在4号位置的，学号数除以4没有余数。
[赏析]复习课的教学，不应该仅仅是知识内容的简单回顾与重复，它应该在相关知识梳理、提炼的基础上发展与提升。拓展练习一般是复习课提升学生思维力的重要途径。在本环节教学中，“旅游坐船问题”，因为结合了学生的学号，所以激发了学生参与研究的兴趣，在思维层面上有一定的挑战性，需要学生在解决过程中结合“余数”的特征来思考。整个过程，教师通过不同的层次和采用多样的反馈方式拉长了学习研究的过程，实现了引导学生思维走向深刻的目标。
在教学片段三中，我们从对单个学号数研究到对多个学号数分析，从对除以4余数为1的学号数研究到对除以4余数为1、2、3、0的所有学号数的特征的归纳，层层推进，思维逐步提升，既有解决问题的过程，更有整体把握、思考内化的过程。当在对“坐在1号嘉宾位”上的学生报出的学号数进行分析时，有学生突然说：“我还知道了一种方法，这些数都是4的倍数加1。”这样的思维结果，本身就是学生对规律的提炼过程，是对数学知识理解逐渐走向深刻的反映。而正因为学生的思维达到这样的水平以后，教师后续引导得出“除以4余数为1、2、3、0”的规律就显得充分而自然了。我们可以清晰地感受到，此时的练习，已经不仅仅起到熟练计算、培养技能的作用，它更具有发展、提高学生思维能力的价值了。（作者单位：浙江省嘉兴市南湖区教研室）■
□责任编辑 孙恭伟
E—mail：jxjyjxsxl@126.com