三角函数线是高中第三章的内容,它利用单位圆的特性将三角函数的定义形象化,在教学中有很多老师只把教学内容停留在表面上,而没有把这部分知识得到有效的推广,实在是有些可惜,现就这个知识点谈谈自己的看法.
　　 在单位圆中,有向线段MP表示正弦线,OM表示余弦线,AT表示正切线.
　　
　　 一､诱导公式的推导
　　
　　 如图,设α在第一象限,则π - α在第二象限,π + α在第三象限, -α, 2π - α有共同的终边在第四象限, α与2kπ + α在第一象限. 以正弦为例,首先,终边相同的同名三角函数值相等,因此,sin(-α) = sin(2π - α). α所对应的正弦线为MP,而 -α , 2π - α所对应的正弦线与sin α所对应的正弦线方向相反,长度相等,因此,我们可以很轻易地得出sin(-α) = sin(2π - α) = -sin α. 又因为π - α所对应的正弦线与α所对应的正弦线方向相同,长度相等, 因此就会有sin α = sin(π - α). 同理,sin(π + α) = sin(π - α) = -sin α,当我们研究到sin α与cos- α的关系的时候,就会发现如上图所示, △OMP与 △OM1P1全等,于是自然就会有sin α = cos- α.
　　
　　 二､解三角不等式
　　
　　 例 证明:sinα ≥.
　　
　　 如图所示,在x轴上取点M ,0,过此点作垂直于x轴的垂线交圆弧于两点P1,P2,连接OP1,OP2,则分别对应45°和-45°两条终边,题目给出的不等号是sinα ≥,所以选取点M右侧的一段弧,可知角α 的取值范围是(k•360°-45°,k•360° + 45°),k∈Z .
　　
　　 三､证明不等式
　　
　　 例 证明:sin α<α　　
　　 如图所示,sin α对应的就是MP,α 对应的就是弧AP,tan α对应的就是AT,利用三角函数线将抽象问题直观化,所需比较的就是MP, ,AT三段的大小,显然,MP < PA <,因此,sin α< α. 又因为S扇OPA< S△OAT,即 PA•R,　　
　　 四､证明单调性
　　
　　 例 证明: sin α< α< tan α,α∈ 0, .
　　
　　 证明 在第一象限内任取两个不同角α1,α2且α1 <α2,找到与之相对应的正弦线P1M1,P2M2,当α1 < α2时,显然有P1M1 < P2M2,于是,α∈ 0, ,f(x) = sin α为单调增函数.
　　
　　 五､分析三角函数的值域
　　
　　 由于三角函数线能将三角函数值形象化,因此,通过角的旋转得到相应的三角函数线的变化规律,不难看出,sin α∈[-1,1],cos α∈ [-1,1],tan α∈R.
　　
　　 六､证明基本关系式
　　
　　 例 证明:sin2α + cos2α = 1.
　　
　　 由图可知,在△OPM中,sin2α = |PM|2, cos2α = |0M|2,而|0P|2 = 1,因此,sin2α + cos2α = 1.
　　
　　 七､圆的旋转对称性:和(差)角公式
　　
　　 此种应用在课本中有所体现,在此就不重复了.
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”