几何中的极值问题，常常与三角函数等其他代数分支相连接，求解这类问题时，如能在几何与代数的交汇点上寻求解题突破，对提高分析问题、解决问题的能力和提升数学知识的融会与迁移能力，无疑很有裨益.
　　问题1已知△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，点Q在△ABC内，记f=aQA2+bQB2+cQC2.
　　（1）求f的最小值；
　　（2）当f取最小值时，确定点Q的几何位置.
　　图1
　　解析：（1）如图1，作出点Q关于BC，CA，AB的对称点Q1，Q2，Q3.
　　则
　　S△AQQ3+S△AQQ2=12QA2·（sin2α1+sin2β1）
　　=QA2sin（α1+β1）·cos（α1-β1）≤QA2sinA.
　　同理，S△BQQ1+S△BQQ3≤QB2sinB，S△CQQ1+S△CQQ2≤QC2sinC.
　　三式相加得2S△ABC≤a2RQA2+b2RQB2+c2RQC2.
　　故f=aQA2+bQB2+cQC2≥4R·S△ABC=abc.
　　（2）当上式取等号，即f取最小值时，有cos（α1-β1）=cos（α2-β2）=cos（α3-β3）=1.
　　此时，α1=β1，α2=β2，α3=β3，即QA，QB，QC是∠A，∠B，∠C的平分线段.
　　所以，Q是△ABC的内心.
　　问题2在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD交于点O，OC=OD.
　　试求OBAB+OAAD+OCBC的最大值.
　　图2
　　解析：如图2，设∠ABO=α，∠OAD=β，∠BCO=γ.
　　由题意得tanα=OAOB，tanβ=ODOA，tanγ=OBOC.
　　又OD=OC，则
　　tanα·tanβ·tanγ=1，α，β，γ∈0，π2.
　　由于OBAB=cosα，OAAD=cosβ，OCBC=cosγ，
　　于是，问题转化为求cosα+cosβ+cosγ的最大值.
　　由tanα·tanβ·tanγ=1，知道tanα，tanβ，tanγ三者中必有一个不小于1，不妨设tanγ≥1，则tanγ∈（0，1].
　　由tanα·tanβ=cotγ2sinα·sinβ=2cotγ·cosα·cosβ
　　-cos（α+β）+cos（α-β）=cotγ[cos（α+β）+cos（α-β）]
　　cos（α+β）=1-cotγ1+cotγcos（α-β）.①
　　令t=cosα+cosβ，则t2=cos2α+cos2β+2cosα·cosβ=1+cos（α+β）·cos（α-β）+cos（α+β）+cos（α-β）.②
　　将①代入②得t2=1+cos2（α-β）1-cotγ1+cotγ+21+cotγ·cos（α-β）.
　　又-π2<α-β<π2，则0　　从而，t2≤1+1-cotγ1+cotγ+21+cotγ=41+cotγ，因此t≤21+cotγ.
　　所以cosα+cosβ+cosγ=t+cosγ
　　≤21+cotγ+cotγ1+cot2γ
　　≤21+cotγ+2cotγ1+cotγ
　　=2+21+cotγ-21+cotγ.
　　令x=11+cosγ，则x≥22.
　　f（x）=2+2x-2x2=-2x-222+322.
　　当且仅当x=22时，f（x）取最大值322，所以cosα+cosβ+cosγ≤322，当且仅当α=β=γ=π4时，取得最大值.也就是说，当四边形ABCD为正方形时，OBAB+OAAD+OCBC取最大值322.