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中学数学教师要从根本上提高学生的解题能力，就要在解题教学中努力对学生加强思维训练。下面分三个方面来谈谈我的教学感受。
一、引导学生自己思索，制定解题计划
在解题教学中，在讲述习题的解答之前，我先用适当的问题或建议引导学生“思索”：思考习题题意，探索解题方法，理清解题思路，订出解题计划。
例1：求点P（1，3）关于直线L：x-2y=0的对称点Q的坐标。
■
问（1）：本题的目标和条件各是什么？你能否用图形和符号直观地概述题意？
答：目标是求点Q的坐标，条件是点Q是点P（1，3）关于直线L：x-2y=0的对称点，可画右图概述题意。
问（2）：根据已知条件可先求出什么？
答：可以先求出P到L的距离，即Q到L的距离；也可以先求出直线PQ的斜率，进而求出PQ的方程。
问（3）：以上这些结果对目标有用吗？能否利用这些结果进一步求出目标？
答：PQ的方程对目标有用。有了它，可以求出PQ与L交点M的坐标；再根据Q外分PM所成比x=-2，就可以求出目标。
问（4）：很好，我知道你已经从条件出发思索出了解题计划。
现在我请另一个同学从目标出发来开始思索。看着目标（求Q点坐标），能否联想起对目标可能有用的方法、法则或公式？
答：我想起了由两曲线方程组求交点坐标的方法，还可以列二元方程组求两个未知数的方法。或者利用分点坐标公式，因M为PQ中点，所以我想，可用该公式求目标。
问（5）：为了运用该公式，你是否要引入某个辅助量？
答：引入M点坐标为辅助量，于是应当先求出它。
问（6）：这个新目标能求吗？怎样求？
答：由于M为PQ与直线L的交点，可以用由曲线方程组求交点坐标的方法。但是，为此又要先求PQ的方程。
问（7）：这个新目标能求吗？怎样求？
答：由P（1，3）及KPQ=-■=-2，用点斜式求直线方程。现在我也得到了跟刚才那个同学一样的解题计划：先求PQ方程，再求M点坐标，最后求Q点坐标。
问（8）：很好，先前你曾说，从目标出发你想到过列二元方程组的方法。用这个方法也能解吗？请继续思索下去。
答：我猜想也能解。设Q点坐标为（a，b）。问题归结为求解a与b，于是只要列出关于a与b的两个方程。根据条件可知KPQ·KL=-1，又知PQ中点M的坐标适合L的方程，这就可以分别得到关于a与b的两个方程。所以，用这个方法也能解。
问（9）：你想到的两个解法，哪个比较简便？
答：按这个新计划解题，计算量较小，因而比较简便。
数学教师上课时如果用塞满例行运算来训练学生，或者只讲“这样解”，不讲“怎样想到要这样解”，就会压抑学生的兴趣，妨碍学生的智力发展。但是，如果他精选适合学生程度的典型例题，并且用适当的问题，启发对解题有用的典型思维活动，引导学生自己思索制定解题计划，就会引起学生对独立思考的兴趣，并教给学生一些思维方法。
二、指导学生简明地再现真实的思维过程
在数学解题中，在“思索”阶段或“解答”阶段，我指导学生用简明的文字、符号或图表，清晰地再现思索出解题计划的真实思维过程。
例如，在前述例1的问答（3）与（8）之后，我指导学生分别用求出号“→”与求出于号“←”，再现前述思索出的解题计划的真实思维过程。
思一：
P坐标 L方程①→PQ方程 L方程②→M坐标 P坐标③→Q坐标
思二：设Q点坐标为（a，b）。
（a，b） ③←
f1（a，b）=0←KPQ·KL=-1 ①f2（a，b）=0←PQ中点M的坐标适合L方程 ②
从左往右看，是思索的顺序，数字①、②，③是解题计划的步骤顺序。
例2：求证：■+■<■+■。
证法一（传统证法）：因14<18，故■<■。因此9+2■<9+2■，即
（■+■）2<（■+■）2。又因■+■>0，所以，■+■<■+■。
學生不会只满足于验证上述过程的每一步都正确，他们还要求知道每一步的原因——怎样想到要进行这一步。学生对引人注目的第一步的原因不能理解，会感到很失望，在思维方面也就学不到什么东西。
（责编 赵建荣）
一、引导学生自己思索，制定解题计划
在解题教学中，在讲述习题的解答之前，我先用适当的问题或建议引导学生“思索”：思考习题题意，探索解题方法，理清解题思路，订出解题计划。
例1：求点P（1，3）关于直线L：x-2y=0的对称点Q的坐标。
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问（1）：本题的目标和条件各是什么？你能否用图形和符号直观地概述题意？
答：目标是求点Q的坐标，条件是点Q是点P（1，3）关于直线L：x-2y=0的对称点，可画右图概述题意。
问（2）：根据已知条件可先求出什么？
答：可以先求出P到L的距离，即Q到L的距离；也可以先求出直线PQ的斜率，进而求出PQ的方程。
问（3）：以上这些结果对目标有用吗？能否利用这些结果进一步求出目标？
答：PQ的方程对目标有用。有了它，可以求出PQ与L交点M的坐标；再根据Q外分PM所成比x=-2，就可以求出目标。
问（4）：很好，我知道你已经从条件出发思索出了解题计划。
现在我请另一个同学从目标出发来开始思索。看着目标（求Q点坐标），能否联想起对目标可能有用的方法、法则或公式？
答：我想起了由两曲线方程组求交点坐标的方法，还可以列二元方程组求两个未知数的方法。或者利用分点坐标公式，因M为PQ中点，所以我想，可用该公式求目标。
问（5）：为了运用该公式，你是否要引入某个辅助量？
答：引入M点坐标为辅助量，于是应当先求出它。
问（6）：这个新目标能求吗？怎样求？
答：由于M为PQ与直线L的交点，可以用由曲线方程组求交点坐标的方法。但是，为此又要先求PQ的方程。
问（7）：这个新目标能求吗？怎样求？
答：由P（1，3）及KPQ=-■=-2，用点斜式求直线方程。现在我也得到了跟刚才那个同学一样的解题计划：先求PQ方程，再求M点坐标，最后求Q点坐标。
问（8）：很好，先前你曾说，从目标出发你想到过列二元方程组的方法。用这个方法也能解吗？请继续思索下去。
答：我猜想也能解。设Q点坐标为（a，b）。问题归结为求解a与b，于是只要列出关于a与b的两个方程。根据条件可知KPQ·KL=-1，又知PQ中点M的坐标适合L的方程，这就可以分别得到关于a与b的两个方程。所以，用这个方法也能解。
问（9）：你想到的两个解法，哪个比较简便？
答：按这个新计划解题，计算量较小，因而比较简便。
数学教师上课时如果用塞满例行运算来训练学生，或者只讲“这样解”，不讲“怎样想到要这样解”，就会压抑学生的兴趣，妨碍学生的智力发展。但是，如果他精选适合学生程度的典型例题，并且用适当的问题，启发对解题有用的典型思维活动，引导学生自己思索制定解题计划，就会引起学生对独立思考的兴趣，并教给学生一些思维方法。
二、指导学生简明地再现真实的思维过程
在数学解题中，在“思索”阶段或“解答”阶段，我指导学生用简明的文字、符号或图表，清晰地再现思索出解题计划的真实思维过程。
例如，在前述例1的问答（3）与（8）之后，我指导学生分别用求出号“→”与求出于号“←”，再现前述思索出的解题计划的真实思维过程。
思一：
P坐标 L方程①→PQ方程 L方程②→M坐标 P坐标③→Q坐标
思二：设Q点坐标为（a，b）。
（a，b） ③←
f1（a，b）=0←KPQ·KL=-1 ①f2（a，b）=0←PQ中点M的坐标适合L方程 ②
从左往右看，是思索的顺序，数字①、②，③是解题计划的步骤顺序。
例2：求证：■+■<■+■。
证法一（传统证法）：因14<18，故■<■。因此9+2■<9+2■，即
（■+■）2<（■+■）2。又因■+■>0，所以，■+■<■+■。
學生不会只满足于验证上述过程的每一步都正确，他们还要求知道每一步的原因——怎样想到要进行这一步。学生对引人注目的第一步的原因不能理解，会感到很失望，在思维方面也就学不到什么东西。
（责编 赵建荣）