中图分类号:G633.6文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2009)14-121-01
　　
　　导数是高中新课程的新增内容,它既是研究函数性态的有力工具,又是对学生进行理性思维训练的良好素材。但学生在学习导数时,有许多问题形式相似,但实质不同,学生在解决此类问题时,由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区,造成解题失误,本文对相关的问题加以归纳辨析。
　　
　　一、对函数“单调性”与“导数值符号”的关系理解
　　
　　一般地,设函数 在某个区间内可导,如果,则 在此区间为增函数;如果,则 在此区间为减函数,要用导数判断函数的单调性,除掌握以上依据外,还应明确以下两点(以增函数为例):
　　1.与为增函数的关系:
　　由上可知,,则为增函数,但反之不一定。
　　如在上为增函数,但 ,即
　　2. 与 为增函数的关系:
　　由上分析: 为增函数,则一定可推出,但反之不一定成立,当函数 在某区间内恒有 =0时,为常数函数,此时就不具备单调性。
　　例1:已知函数,若在
　　上是增函数,求实数a的取值范围。
　　错解:
　　若 即 时,对于有
　　 在 上是增函数,a取值范围为
　　剖析: 若即 ,对于有
　　当且仅当 故最后解得a的取值范围为
　　
　　二、对函数的单调区间为[a,b]与函数在区间[a,b]是单调函数混浠不清
　　
　　例2:已知函数在 上是增函数,求a的值。
　　错解: ,函数的一个递增区间为
　　 在 上大于0,且1是方程的一个根∴a=3
　　剖析:此题与“函数 的一个单调递增区间为 ,求a的值”两道题目很相似,但题意却不一样,解题方法也不一样,函数在 上为递增函数,只要 是函数的增区间的子集就行。
　　正解:,由在 上是增函数,得 在 上大于0恒成立,即得a≤3。
　　
　　三、误解了“导数为零”与“有极值”的逻辑关系
　　
　　例3:函数在x=1处有极值10,求a,b的值。
　　错解: 由题意知 且,
　　即,且
　　解之得或
　　剖析: 为极值的充要条件是 且在 附近两侧的符号相反,所以当时, 在x=1附近两侧的符号相同, 在x=1处并没有极值。所以
　　 应舍去。
　　例4:求函数 的极值。
　　错解:令,得x=1
　　当x>1时,,为增函数;当x<1时,,
　　为减函数。
　　 在x=1处取得极小值,极小值为
　　剖析:可导函数的极植点一定是它的导数为零的点,同时要注意定义域内导数不存在的点。函数不可导的点也可能是函数的极值点。
　　正解:的定义域为,
　　令=0,得x=1,而x=0是使不存在的点。列表考察 的符号:
　　由上表可知,函数的极大值为 ,极小值为
　　
　　四、忽视了“过某点的切线”与“在某点处的切线”的差别
　　
　　例5 已知曲线 上一点 ,求过点P的切线方程。
　　错解:切线方程为 ,即
　　剖析:求切线方程时,一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程,前者可能会有多个结果,而后者通常只有一个结果。
　　正解:设切点坐标为则
　　∴过点A的切线方程为
　　因为切线过点 ,代入上述方程,解得 或
　　∴过点P的切线的斜率为 ,故过点 的切线方程为
　　 即
　　评注:事实上,过某点的切线中,该点不一定是切点;在某点处的切线中,该点则是切点。
　　
　　参考文献:
　　[1]马伟开.导数中形同质异的问题对[J].中学数学,2008(7)