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摘 要 通过在默顿（1969年，1971年） 的经典模型中引入Harris和Laibson （2013年）的随机双曲偏好，研究得到了针对常绝对风险厌恶效用函数的最优消费和投资组合的解析解.与默顿的结果相比，发现消费与财富尽管仍有线性关系，但其比例再也不是一个常数.投资于风险资产的比例也非固定常数，但投资于风险资产的总价值保持不变.
关键词 双曲折现；跨期消费；投资组合
中图分类号 F830 文献标识码 A
Abstract By introducing stochastic hyperbolic preference of Harris and Laibson （2013） in the classical model of Merton （1969， 1971），the analytical solution of optimal consumption and portfolio on the constant absolute risk aversion utility function was obtained.Compared with the results of Merton， we find that consumption and wealth even though is still a linear relationship， but its ratio is not a constant. The ratio of investment to the risk assets is also not fixed， but the total value of the investment in the risky assets remains unchanged.
Key words hyperbolic discounting； cross period consumption； investment portfolio
1 引 言
大多数的经济决策是跨时期的，并且涉及当前和未来的回报之间的权衡.跨期消费储蓄和投资组合选择问题是现代经济和金融的一个重要问题，Merton（1969，1971）在这方面做了开创性的工作[1，2].他首先提出了最优投资组合选择问题和消费规则，在这个连续时间模型中，个人投资者的收入是由随机的资产回报或瞬时增长率刻画.
折现效用理论已经成为经济学中分析跨期选择问题的标准框架.这个理论的一个重要组成部分就是折现函数，有常数折现率的指数折现函数是文献中使用最广泛的折现函数.根据Strotz（1955），这也是唯一一个导致时间一致偏好的折现函数[3].
然而，大量心理学和行为科学的证据指出，时间不一致性是人类偏好标准[4，5].双曲折现模型已成为经济学中刻画时间一致偏好的最为被广泛接受的框架.Prelec（2004）认为，“很少有经济假设从边缘到成为主流理论能像双曲折现这般迅速”[6].大量的文献讨论解决了基于双曲折现的各种各样的经济学问题[7-9].
在本文中，研究了有时间不一致偏好和有限生命的个人的跨期消费储蓄和投资组合选择问题，得到了针对常绝对风险厌恶效用函数的两资产最优消费和投资组合问题的解析解.以往的跨期消费和投资组合问题中假设了具有常数折现率的指数折现函数，从而意味着时间一致偏好.通过在默顿的经典框架中引入Harris和Laibson （2013）的随机双曲折现模型[10]，得到了更贴近现实的结果.且使用的方法可以用来解决一类不确定性条件下的跨期经济学问题.
本文对已有文献有几个重要的贡献.首先，连续时间情形下，不确定性条件下的最优跨期消费策略一直由随机动态规划给出，引入Karp （2007）的动态规划方法得到了最优消费和投资组合的选择Hamilton-Jacobi-Bellman（以下简称HJB）方程[11].第二，得到了针对常绝对风险厌恶效用函数的闭式解.与默顿的结果相比，发现引入随机双曲线折现后，消费与财富尽管仍有线性关系，但其比例再也不是一个常数，投资于风险资产的比例也非固定常数，且投资于风险资产的总价值保持不变.原有文献中虽然研究了针对具有无限生命的微观个人在随机双曲折现下的最优消费和投资组合规则，但是其中所使用的方法不能应用于有限时间情形，而本文的分析可以很容易地扩展到无限时间情形.
5 结 论
本文把默顿的经典消费储蓄和投资组合选择问题扩展到了对象有时间不一致偏好，那么个人在做决策时就需要考虑自己偏好的改变.本文用较简单的方法得到了有限时间和无限时间情形下的HJB方程.还得到了针对具常绝对风险厌恶的效用函数的消费和投资组合选择的解析解.此模型还可以做进一步扩展，首先，仅假设了两个资产，可扩展到多资产的情形；其次，本文與默顿模型一样假设了完备市场，还可以考虑具有多种市场摩擦的不完备市场，这将与现实更贴近；最后，也可以考虑个人投资者的生命是一个随机变量，可以预见的是，这将大大增加模型的复杂程度，但会得到更合理的结论.
参考文献
[1] MERTON R C. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-time case[J]. The Review of Economics and Statistics .1969，51（3）：247-257.
[2] MERTON R C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]. Journal of Economic Theory ， 1971.：3（4）， 373-413. [3] STROTZ R H. Myopia and inconsistency in dynamic utility maximization[J]. The Review of Economic Studies， 1955， 23（3）：165-180.
[4] THALER R H，SHEFRIN H M. An economic theory of self-control[J]. Journal of Political Economy， 1981，89（2）：392-406.
[5] DELLAVIGNA S，MALMENDIER U. Paying not to go to the gym[J]. The American Economic Review， 2006，96（3）：694-719.
[6] PRELEC D. Decreasing impatience： a criterion for non-stationary time preference and hyperbolic discounting[J]. Scandinavian Journal of Economics， 2004，106 （3）：511-532.
[7] BARRO R. Ramsey meets Laibson in the neoclassical growth model[J]. Quarterly Journal of Econmics，1999，114（4）：1125-1152.
[8] O′DONOGHUE T， RABIN M. Doing it now or later[J]. The American Economic Review， 1999，89（1）：103-124.
[9] GRENADIER S R， WANG N. Investment under uncertainty and time-inconsistent preferences[J]. Journal of Financial Economics， 2007，84（1）：2-39.
[10]HARRIS C， LAIBSON D. Instantaneous gratification[J]. The Quarterly Journal of Economics，2013，128（1）， 205-248.
[11]KARP L. Non-constant discounting in continuous time[J]. Journal of Economic Theory，2007，132（1）：557-568.
关键词 双曲折现；跨期消费；投资组合
中图分类号 F830 文献标识码 A
Abstract By introducing stochastic hyperbolic preference of Harris and Laibson （2013） in the classical model of Merton （1969， 1971），the analytical solution of optimal consumption and portfolio on the constant absolute risk aversion utility function was obtained.Compared with the results of Merton， we find that consumption and wealth even though is still a linear relationship， but its ratio is not a constant. The ratio of investment to the risk assets is also not fixed， but the total value of the investment in the risky assets remains unchanged.
Key words hyperbolic discounting； cross period consumption； investment portfolio
1 引 言
大多数的经济决策是跨时期的，并且涉及当前和未来的回报之间的权衡.跨期消费储蓄和投资组合选择问题是现代经济和金融的一个重要问题，Merton（1969，1971）在这方面做了开创性的工作[1，2].他首先提出了最优投资组合选择问题和消费规则，在这个连续时间模型中，个人投资者的收入是由随机的资产回报或瞬时增长率刻画.
折现效用理论已经成为经济学中分析跨期选择问题的标准框架.这个理论的一个重要组成部分就是折现函数，有常数折现率的指数折现函数是文献中使用最广泛的折现函数.根据Strotz（1955），这也是唯一一个导致时间一致偏好的折现函数[3].
然而，大量心理学和行为科学的证据指出，时间不一致性是人类偏好标准[4，5].双曲折现模型已成为经济学中刻画时间一致偏好的最为被广泛接受的框架.Prelec（2004）认为，“很少有经济假设从边缘到成为主流理论能像双曲折现这般迅速”[6].大量的文献讨论解决了基于双曲折现的各种各样的经济学问题[7-9].
在本文中，研究了有时间不一致偏好和有限生命的个人的跨期消费储蓄和投资组合选择问题，得到了针对常绝对风险厌恶效用函数的两资产最优消费和投资组合问题的解析解.以往的跨期消费和投资组合问题中假设了具有常数折现率的指数折现函数，从而意味着时间一致偏好.通过在默顿的经典框架中引入Harris和Laibson （2013）的随机双曲折现模型[10]，得到了更贴近现实的结果.且使用的方法可以用来解决一类不确定性条件下的跨期经济学问题.
本文对已有文献有几个重要的贡献.首先，连续时间情形下，不确定性条件下的最优跨期消费策略一直由随机动态规划给出，引入Karp （2007）的动态规划方法得到了最优消费和投资组合的选择Hamilton-Jacobi-Bellman（以下简称HJB）方程[11].第二，得到了针对常绝对风险厌恶效用函数的闭式解.与默顿的结果相比，发现引入随机双曲线折现后，消费与财富尽管仍有线性关系，但其比例再也不是一个常数，投资于风险资产的比例也非固定常数，且投资于风险资产的总价值保持不变.原有文献中虽然研究了针对具有无限生命的微观个人在随机双曲折现下的最优消费和投资组合规则，但是其中所使用的方法不能应用于有限时间情形，而本文的分析可以很容易地扩展到无限时间情形.
5 结 论
本文把默顿的经典消费储蓄和投资组合选择问题扩展到了对象有时间不一致偏好，那么个人在做决策时就需要考虑自己偏好的改变.本文用较简单的方法得到了有限时间和无限时间情形下的HJB方程.还得到了针对具常绝对风险厌恶的效用函数的消费和投资组合选择的解析解.此模型还可以做进一步扩展，首先，仅假设了两个资产，可扩展到多资产的情形；其次，本文與默顿模型一样假设了完备市场，还可以考虑具有多种市场摩擦的不完备市场，这将与现实更贴近；最后，也可以考虑个人投资者的生命是一个随机变量，可以预见的是，这将大大增加模型的复杂程度，但会得到更合理的结论.
参考文献
[1] MERTON R C. Lifetime portfolio selection under uncertainty： the continuous-time case[J]. The Review of Economics and Statistics .1969，51（3）：247-257.
[2] MERTON R C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]. Journal of Economic Theory ， 1971.：3（4）， 373-413. [3] STROTZ R H. Myopia and inconsistency in dynamic utility maximization[J]. The Review of Economic Studies， 1955， 23（3）：165-180.
[4] THALER R H，SHEFRIN H M. An economic theory of self-control[J]. Journal of Political Economy， 1981，89（2）：392-406.
[5] DELLAVIGNA S，MALMENDIER U. Paying not to go to the gym[J]. The American Economic Review， 2006，96（3）：694-719.
[6] PRELEC D. Decreasing impatience： a criterion for non-stationary time preference and hyperbolic discounting[J]. Scandinavian Journal of Economics， 2004，106 （3）：511-532.
[7] BARRO R. Ramsey meets Laibson in the neoclassical growth model[J]. Quarterly Journal of Econmics，1999，114（4）：1125-1152.
[8] O′DONOGHUE T， RABIN M. Doing it now or later[J]. The American Economic Review， 1999，89（1）：103-124.
[9] GRENADIER S R， WANG N. Investment under uncertainty and time-inconsistent preferences[J]. Journal of Financial Economics， 2007，84（1）：2-39.
[10]HARRIS C， LAIBSON D. Instantaneous gratification[J]. The Quarterly Journal of Economics，2013，128（1）， 205-248.
[11]KARP L. Non-constant discounting in continuous time[J]. Journal of Economic Theory，2007，132（1）：557-568.