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摘要研究了一类具有相依结构的离散时间更新风险过程，通过索赔额与随机阈值得比较，风险过程在两个级别中相互转换。得到了期望贴现惩罚函数的概率生成函数满足的分析表达式以及零初值时惩罚函数的解析表达式。最后，得到了期望贴现惩罚函数所满足的瑕疵更新方程。
关键词数理统计学；离散时间相依模型；期望贴现惩罚函数；Lundberg基本方程
中图分类号F840文献标识码A
Expected discounted penalty function for a class of discrete time dependent risk model
He ZHENG
（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China）
AbstractThis paper discusses a class of discrete time renewal risk processes with dependent structure.The risk process is transformed at two levels by comparing the claim value with the stochastic threshold.The analytic expression of the probability generating function of the expected discounted penalty function is obtained and the analytic expression of penalty function at zero initial value is obtained.Finally，the defective renewal equation satisfied by the expected discounted penalty function is obtained.
Key wordsmathematical statistics；discrete time dependent risk model；expected discounted penalty function；Lundberg fundamental equation
1引言
在风险理论的早期研究中，一般假设索赔剩余过程满足独立增量性质，但是这个条件一般不符合保险公司的实际运营。近年来，越来越多的精算理论学者在盈余过程引入某种相依结构。例如，Albrecher和Boxma（2004）[1]假设索赔间隔时间分布依赖于前一次索赔额的大小，得到了破产概率拉普拉斯变换的解析表达式；Boudreault等（2006）[2]研究了索赔间隔时间与下一次索赔额相依的复合Poisson风险模型，得到了期望惩罚函数的瑕疵更新方程；Cossette等（2008）[3]使用FGM copula函数刻画索赔间隔时间和索赔额之间的相依关系，得到了期望惩罚函数的拉普拉斯变换的解析表达式，在索赔额服从指数分布时得到破产时间的拉普拉斯变换的具体表达；Meng和Zhang等（2008）[4]构建了索赔间隔时间决定下一次索赔额的相依结构，在指数索赔下得到了生存概率的计算公式以及一般索赔分布下破产概率的上界估计；Li和Sendova（2013）[5]构造了索赔间隔时间和保费率都依赖于前一次索赔额的连续时间风险模型，得到了任意索赔分布下期望惩罚函数满足的瑕疵更新方程；Liu和Bao（2014）[6]研究了具有一般保费收入的时间间隔与索赔额相依的离散时间风险模型，得到了期望惩罚函数满足的更新方程。
对一类离散时间相依风险模型的研究，通过索赔额与随机阈值进行比较，风险过程在两个级别中相互转换。对于此类风险模型，通过Lundberg基本方程的根，从而得到期望贴现惩罚函数满足的瑕疵更新方程。
2模型结构
考虑如下的风险模型，保险公司的盈余过程r（n）满足
其中u∈N为初始盈余，xi表示第i次发生索赔的金额，t（n）表示到时刻n时发生的索赔的次数。令{xi，i∈N }为一列独立同分布的随机变量序列，概率函数为b（·），均值为β，概率母函数为（·）。阈值{qi，i∈N }为独立同分布的随机变量序列，分布函数为h（·）。现在假设风险过程在任意时刻n满足下列两种情形之一并把这两种情形记作级别i（i=1，2）。在风险级别为i时，下次发生索赔的时间间隔w服从参数为pi（i=1，2）的几何分布，概率函数为fi（n）=qipn-1i，其中qi=1-pi>0。在索赔发生时风险过程的状态会依赖索赔额的大小发生改变：若索赔额xi小于阈值qi，则风险过程的状态会发生改变，否则不变。在后续讨论中，将qi记作q。为了满足正的安全负载，假设下面的不等式成立：
记mi（u）表示初始盈余为u的GerberShiu期望贴现惩罚函数，即
其中0 为简化计算，定义离散函数的算子如下：
关于该算子的相关性质参见文献[7].
3期望贴现惩罚函数的概率生成函數
以第一次索赔发生的时间和索赔额的大小为条件，由全概率公式得：
由于f（u）是定义在[0，1]上的连续的取整值的常值函数且f（0）=2，所以f（1）=2。
现将式（11）和式（12）以矩阵形式表示为
4期望贴现惩罚函数满足的更新方程
本节的目的是反演概率生成函数，获得期望贴现惩罚函数满足的瑕疵更新方程。记l1（z）=[p1m1（0） q1γ（0）]（z-vp2），则l1（ 其中
顯然式（17）中分母的根也是分子的根，所以有
故用拉格朗日插值定理有：
最后，由式（20）和式（23）得到mi（u）满足的瑕疵更新方程。
定理3对于风险模型（1），期望贴现惩罚函数mi（u）满足下面的瑕疵更新方程：
其中τ（·）由式（21）给出，η1（·）和η2（·）分别由式（22）和式（24）确定。
证明：通过反演概率生成函数的表达式，由式（20）和式（23）得到更新方程式（25）。以下只需证明更新方程式（25）为瑕疵的。为此，只需说明kv：=v（1）<1.则由式（19）可知
5结论
研究一类具有相依结构的离散时间更新风险过程，通过索赔额与随机阈值进行比较，风险过程在两个级别中相互转换。利用概率生成函数的技巧，得到期望贴现惩罚函数的概率生成函数满足的分析表达式以及零初值时惩罚函数的解析解。最后，通过Lundberg基本方程的根得到期望贴现惩罚函数满足的瑕疵更新方程。所得结果丰富了破产理论中关于离散时间风险模型的研究内容，可以为保险公司的实际运营提供一定的决策参考。
参考文献
[1]Albrecher H，Boxma O J.A ruin model with dependence between claim sizes and claim Intervals.Mathematics and Economics.2004（35）：245-254.
[2]Boudreault M，Cossette H，Landriault D，et al.On a risk model with dependence between interclaim arrivals and claim sizes.Scandinavian Actuarial Journal.2006（5）：265-285.
[3]Cossette H，Marceau E，Marri F.On the compound Poisson risk model with dependence based on a generalized FarlieGumbelMorgenstern copula.Insurance：Mathematics and Economics.2008（43）：444-455.
[4]Meng Q，Zhang X，Guo J.On a risk model with dependence between claim sizes and claim Intervals.Statistics and Probability Letters.2008（78）：1727-1734.
[5]Li Z，Sendova K P.On a ruin model with both interclaim times and premiums depending on claim sizes.Insurance：Scandinavian Actuarial Journal.2013（2）：1-21.
[6]Liu H，Bao Z.On a discretetime risk model with general income and timedependent claims [J].Journal of Computational and Applied Mathematics.2014，260（4）：470-481.
[7]Li S.On a class of discrete time renewal risk models [J].Scandinavian Actuarial Journal.2005（4）：241-260.
关键词数理统计学；离散时间相依模型；期望贴现惩罚函数；Lundberg基本方程
中图分类号F840文献标识码A
Expected discounted penalty function for a class of discrete time dependent risk model
He ZHENG
（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China）
AbstractThis paper discusses a class of discrete time renewal risk processes with dependent structure.The risk process is transformed at two levels by comparing the claim value with the stochastic threshold.The analytic expression of the probability generating function of the expected discounted penalty function is obtained and the analytic expression of penalty function at zero initial value is obtained.Finally，the defective renewal equation satisfied by the expected discounted penalty function is obtained.
Key wordsmathematical statistics；discrete time dependent risk model；expected discounted penalty function；Lundberg fundamental equation
1引言
在风险理论的早期研究中，一般假设索赔剩余过程满足独立增量性质，但是这个条件一般不符合保险公司的实际运营。近年来，越来越多的精算理论学者在盈余过程引入某种相依结构。例如，Albrecher和Boxma（2004）[1]假设索赔间隔时间分布依赖于前一次索赔额的大小，得到了破产概率拉普拉斯变换的解析表达式；Boudreault等（2006）[2]研究了索赔间隔时间与下一次索赔额相依的复合Poisson风险模型，得到了期望惩罚函数的瑕疵更新方程；Cossette等（2008）[3]使用FGM copula函数刻画索赔间隔时间和索赔额之间的相依关系，得到了期望惩罚函数的拉普拉斯变换的解析表达式，在索赔额服从指数分布时得到破产时间的拉普拉斯变换的具体表达；Meng和Zhang等（2008）[4]构建了索赔间隔时间决定下一次索赔额的相依结构，在指数索赔下得到了生存概率的计算公式以及一般索赔分布下破产概率的上界估计；Li和Sendova（2013）[5]构造了索赔间隔时间和保费率都依赖于前一次索赔额的连续时间风险模型，得到了任意索赔分布下期望惩罚函数满足的瑕疵更新方程；Liu和Bao（2014）[6]研究了具有一般保费收入的时间间隔与索赔额相依的离散时间风险模型，得到了期望惩罚函数满足的更新方程。
对一类离散时间相依风险模型的研究，通过索赔额与随机阈值进行比较，风险过程在两个级别中相互转换。对于此类风险模型，通过Lundberg基本方程的根，从而得到期望贴现惩罚函数满足的瑕疵更新方程。
2模型结构
考虑如下的风险模型，保险公司的盈余过程r（n）满足
其中u∈N为初始盈余，xi表示第i次发生索赔的金额，t（n）表示到时刻n时发生的索赔的次数。令{xi，i∈N }为一列独立同分布的随机变量序列，概率函数为b（·），均值为β，概率母函数为（·）。阈值{qi，i∈N }为独立同分布的随机变量序列，分布函数为h（·）。现在假设风险过程在任意时刻n满足下列两种情形之一并把这两种情形记作级别i（i=1，2）。在风险级别为i时，下次发生索赔的时间间隔w服从参数为pi（i=1，2）的几何分布，概率函数为fi（n）=qipn-1i，其中qi=1-pi>0。在索赔发生时风险过程的状态会依赖索赔额的大小发生改变：若索赔额xi小于阈值qi，则风险过程的状态会发生改变，否则不变。在后续讨论中，将qi记作q。为了满足正的安全负载，假设下面的不等式成立：
记mi（u）表示初始盈余为u的GerberShiu期望贴现惩罚函数，即
其中0
关于该算子的相关性质参见文献[7].
3期望贴现惩罚函数的概率生成函數
以第一次索赔发生的时间和索赔额的大小为条件，由全概率公式得：
由于f（u）是定义在[0，1]上的连续的取整值的常值函数且f（0）=2，所以f（1）=2。
现将式（11）和式（12）以矩阵形式表示为
4期望贴现惩罚函数满足的更新方程
本节的目的是反演概率生成函数，获得期望贴现惩罚函数满足的瑕疵更新方程。记l1（z）=[p1m1（0） q1γ（0）]（z-vp2），则l1（ 其中
顯然式（17）中分母的根也是分子的根，所以有
故用拉格朗日插值定理有：
最后，由式（20）和式（23）得到mi（u）满足的瑕疵更新方程。
定理3对于风险模型（1），期望贴现惩罚函数mi（u）满足下面的瑕疵更新方程：
其中τ（·）由式（21）给出，η1（·）和η2（·）分别由式（22）和式（24）确定。
证明：通过反演概率生成函数的表达式，由式（20）和式（23）得到更新方程式（25）。以下只需证明更新方程式（25）为瑕疵的。为此，只需说明kv：=v（1）<1.则由式（19）可知
5结论
研究一类具有相依结构的离散时间更新风险过程，通过索赔额与随机阈值进行比较，风险过程在两个级别中相互转换。利用概率生成函数的技巧，得到期望贴现惩罚函数的概率生成函数满足的分析表达式以及零初值时惩罚函数的解析解。最后，通过Lundberg基本方程的根得到期望贴现惩罚函数满足的瑕疵更新方程。所得结果丰富了破产理论中关于离散时间风险模型的研究内容，可以为保险公司的实际运营提供一定的决策参考。
参考文献
[1]Albrecher H，Boxma O J.A ruin model with dependence between claim sizes and claim Intervals.Mathematics and Economics.2004（35）：245-254.
[2]Boudreault M，Cossette H，Landriault D，et al.On a risk model with dependence between interclaim arrivals and claim sizes.Scandinavian Actuarial Journal.2006（5）：265-285.
[3]Cossette H，Marceau E，Marri F.On the compound Poisson risk model with dependence based on a generalized FarlieGumbelMorgenstern copula.Insurance：Mathematics and Economics.2008（43）：444-455.
[4]Meng Q，Zhang X，Guo J.On a risk model with dependence between claim sizes and claim Intervals.Statistics and Probability Letters.2008（78）：1727-1734.
[5]Li Z，Sendova K P.On a ruin model with both interclaim times and premiums depending on claim sizes.Insurance：Scandinavian Actuarial Journal.2013（2）：1-21.
[6]Liu H，Bao Z.On a discretetime risk model with general income and timedependent claims [J].Journal of Computational and Applied Mathematics.2014，260（4）：470-481.
[7]Li S.On a class of discrete time renewal risk models [J].Scandinavian Actuarial Journal.2005（4）：241-260.