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【摘 要】剖析中学二次函数难点，阐述开展二次函数教学的五种策略：深化理解概念，打好基础；领会函数图象，深化理解函数；小组讨论，集中探索；旁征博引，活跃思维；习题验证，不断完善方法。
【关键词】二次函数 教学策略 解析式 函数图象
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）06B-0075-02
在整个中学数学知识体系中，二次函数占据极其关键且重要的地位，二次函数不仅是中高考数学的重要考点，也是线性数学知识的基础。中学生只有学好二次函数，掌握二次函数的相关原理、性质，并领悟二次函数的运用规律及特点，才能为将来的数学学习打好基础。然而，目前来看，二次函数依然是中学生数学学习的难点，是对学生数学思维能力的考验。它对教师的教学方式、教学方法提出了高的要求，因此，教师要深入剖析、总结二次函数学习的难点，严格把握这些难点，有针对性地采取科学的教学方法。
一、中学数学二次函数难点剖析
（一）解析式的理解困难
众所周知，二次函数解析式有多种形式，具体包括：一般式、顶点式、交点式等，不同类型的解析式有着不同的表达形式，体现出不同的性质和意义。掌握解析式的表达形式，深入分析并理解其内涵和性质，无论对于二次函数本身，还是对于其图象的认知都是十分必要的。然而，实际教学中发现多数学生对二次函数解析式的理解存在困难，不仅不能深入透彻地理解每一类解析式的特征和性质，而且对不同解析式之间的变换、转化也较为困难。这势必成为二次函数教学中重点关注的问题之一，教师要牢固把握这一关键教学内容，采用科学的教学方法，积极化解学生困难。
（二）图象理解的困难
通常情况下，二次函数要借助图象来展示其特征，诠释其性质。图象的平移、开口方向、对称轴、顶点的变化等都会带动函数解析式的变化。通过图象来理解二次函数是二次函数学习的重点，也是学生学习的难点。学生通常在理解与运用函数图象方面显得力不从心，这应该成为教学重点关注的对象。
二、中学数学二次函数教学的有效策略
（一）深化理解概念，打好基础
教师必须重视基础阶段的教学，在初始阶段帮助学生深化理解二次函数的概念、定义，透过其概念来分析其深层次的性质与内涵。只有打好概念基础才能为学生的深入研究创造有利条件。
介绍二次函数概念时，教师要本着由浅入深、由通俗向抽象过渡的原则来引导学生。“二次函数”简单说就是一种函数，其中含两个未知数，未知数最高次数为2次，其一般表达式为y=ax2+bx+c（a≠0）。教师可以抽丝剥茧，深入地为学生解释x，y各自代表的含义，a不等于零，因为当a=0时，此函数变成了一次函数。如果令y=0，则此函数解析式变为一个二次方程。
对此教师还可以引入二次函数图象来进一步解释二次函数的性质等。画出二次函数图象，结合图象来认识二次函数的特点。重点从其对称轴、顶点、交点等关键知识点入手，让学生深入理解并认知其性质，从而更加透彻地理解二次函数，为二次函数知识的深入学习打好基础。
（二）领会函数图象，深化理解函数
在二次函数学习过程中，图象是必不可少的学习项目，图象也是辅助学习的必备工具，但也是学生学习的难点，教师必须重视二次函数图象教学。总结以往图象教学中学生常遇到的难点问题，从这些关键点入手，进行特殊深入的讲解，再针对不同学生的不同问题来进行一对一指导，这样才能达到预期的教学效果。
首先，绘制函数图象。二次函数的深入研究与认知可以从函数图象的绘制开始，教师应该先引导学生如何通过对二次函数解析式进行判断，来精准地绘制出二次函数图象。学会根据解析式类型，来绘制图象。其中要集中把握几个图象绘制的关键点：对称轴、顶点坐标、开口方向、交点坐标等。
例如，一般式y=ax2+bx+c（a≠0）图象的绘制。首先，看a，当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下。其次，确定对称轴（也为顶点横坐标）。再次，明确c值，c的值是图象与y轴交点的纵坐标，通过确定这三大要素，基本上就能画出一个清晰、精准的函数图象。
对于一般式来说，就要从这几大方面入手，进行逐步引导。教师可以先自行一边讲解一边操作画图，然后，给出一个一般式，让学生结合这个一般式来按照以上步骤自行分析、理解并画出图象。
同样，对于交点式解析式：y=a（x-x1）（x-x2），则要遵从以上类似的步骤，先明确 a 值的正负，确定抛物线开口，然后，明确x1，x2 两个数的具体数值，来确定图象在x轴的坐标，再对应画出函数图象。
其次，挖掘图象与解析式间的关系。二次函数图象与解析式间的关系是二次函数学习的一大重点内容，熟悉并掌握二者间的关系，能够根据解析式的变化来判断其图象特征，同时又能通过看图象来求出函数解析式，能这样灵活转换二者之间的关系，才算真正理解二次函数的相关知识，也才能提高二次函数学习水平。
（1）图象平移变化。二次函数平移变化，分为左右平移和上下平移，平移后函数解析式也将发生变化，其中，左右平移规律为：向左平移p个单位，解析式要变成x-p，相反，向右平移p个单位，则解析式要变成x+p，简单概括为“左减右加”。
对此，教师可以通过图象的左右平移变化，向学生展示图象变化规律，让学生观察解析式等的变化，让学生形成形象直观的印象，从而更加深入地理解图象的平移规律。
（2）图象对称轴的变化。对称轴变化也是二次函数图象教学中非常重要的知识点之一，教师要重视图象对称轴知识点的教学。借助图象来引导学生，让学生通过观察图象中对称轴的变化规律来掌握解析式的变化规律。
教师可以让学生自行画图总结，鼓励学生之间进行集中讨论，通过讨论最终得出结论。这样有利于调动学生思维积极性，培养学生的数学思维能力，培养学生的自我探索精神。 （三）小组讨论，集中探索
中学二次函数知识的学习需要学生具有探索精神，教师作为一个引导者、组织者应该积极组织学生自行探索学习，鼓励学生通过集中讨论、自我分析、自我探究等方式来获得深层次的知识。因此，教师可以采用小组讨论、合作探究的教学方法，针对二次函数中较为棘手的一些问题，教师暂时不公布答案，而是将学生分成小组，让小组学生集中讨论、相互配合，探究问题的答案。
例如，二次函数图象平移规律就是一个值得深入探索的问题，其中包括图象的左右平移、上下平移。为了能够培养学生的自我探索精神，能够加深对图象平移规律的理解与掌握，教师可以先为学生做个示范，通过结合图象来引导学生掌握二次函数图象横坐标左右平移规律，左右平移后，函数解析式的变化特点等。
学生在了解并掌握了图象左右平移规律后，教师对学生进行分组，要求小组学生共同透过图象分析二次函数图象纵坐标上下平移的规律。
小组学生经过合作探究、讨论，并结合前面教师的示范引导，可能会形成不同的结论，如，一部分小组学生得出了：图象上下平移后，解析式的变化规律为“上加下减”，另一些小组学生则提出了相反的观点。
在不同的结论、争辩中，教师可以亲自利用图象操作，让学生共同进入分析状态，对自己的结论进行合理评价。此时学生会恍然大悟，会对自己的思维过程进行重新梳理，并改变思维方法，意识到思维过程中的错误。
（四）旁征博引，活跃思维
数学知识间存在着密不可分的联系，任何一个数学知识原理的形成也都是建立在其他原理基础上，正是因为数学科目这种较强的逻辑性、规律性，才成为学生学习的难点。对此，数学教师应该进行旁征博引，注重建立二次函数同其他知识点之间的联系，培养学生的数学思维，提高学生思维的敏捷度。
例如，二次函数同一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，引导学生通过观察二次函数图象来探索一元二次方程解的个数，通过分析图象掌握一元二次不等式的解集。
学生经过反复地观察图象，就会意识到二次函数图象的奇妙之处，感受到灵活运用函数图象能够解决更多的问题，化复杂为简单。这对于学生数形结合的思维能力的培养有着非常重要的作用。
（五）习题验证，不断完善方法
科学检验学生学习效果的最佳方法就是借助习题，教师定期为学生布置一些二次函数方面的练习题目，让学生通过做题来初步检测其对二次函数相关性质、原理等的理解程度。总结分析学生学习的薄弱环节，进而从这些薄弱环节入手，进行进一步的引导，及时解除学生的困惑，逐渐提高学生对二次函数的认知水平，提高教学效果。
总之，二次函数是中学数学教学的重点和难点，教师必须及时了解学生，明确他们学习中的困难，深入指导、灵活变换教学方法，为学生高效学习创造条件。培养学生的学习兴趣，指导学生采用正确的学习方法，从整体上提高教学效果。
（责编 卢建龙）
【关键词】二次函数 教学策略 解析式 函数图象
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）06B-0075-02
在整个中学数学知识体系中，二次函数占据极其关键且重要的地位，二次函数不仅是中高考数学的重要考点，也是线性数学知识的基础。中学生只有学好二次函数，掌握二次函数的相关原理、性质，并领悟二次函数的运用规律及特点，才能为将来的数学学习打好基础。然而，目前来看，二次函数依然是中学生数学学习的难点，是对学生数学思维能力的考验。它对教师的教学方式、教学方法提出了高的要求，因此，教师要深入剖析、总结二次函数学习的难点，严格把握这些难点，有针对性地采取科学的教学方法。
一、中学数学二次函数难点剖析
（一）解析式的理解困难
众所周知，二次函数解析式有多种形式，具体包括：一般式、顶点式、交点式等，不同类型的解析式有着不同的表达形式，体现出不同的性质和意义。掌握解析式的表达形式，深入分析并理解其内涵和性质，无论对于二次函数本身，还是对于其图象的认知都是十分必要的。然而，实际教学中发现多数学生对二次函数解析式的理解存在困难，不仅不能深入透彻地理解每一类解析式的特征和性质，而且对不同解析式之间的变换、转化也较为困难。这势必成为二次函数教学中重点关注的问题之一，教师要牢固把握这一关键教学内容，采用科学的教学方法，积极化解学生困难。
（二）图象理解的困难
通常情况下，二次函数要借助图象来展示其特征，诠释其性质。图象的平移、开口方向、对称轴、顶点的变化等都会带动函数解析式的变化。通过图象来理解二次函数是二次函数学习的重点，也是学生学习的难点。学生通常在理解与运用函数图象方面显得力不从心，这应该成为教学重点关注的对象。
二、中学数学二次函数教学的有效策略
（一）深化理解概念，打好基础
教师必须重视基础阶段的教学，在初始阶段帮助学生深化理解二次函数的概念、定义，透过其概念来分析其深层次的性质与内涵。只有打好概念基础才能为学生的深入研究创造有利条件。
介绍二次函数概念时，教师要本着由浅入深、由通俗向抽象过渡的原则来引导学生。“二次函数”简单说就是一种函数，其中含两个未知数，未知数最高次数为2次，其一般表达式为y=ax2+bx+c（a≠0）。教师可以抽丝剥茧，深入地为学生解释x，y各自代表的含义，a不等于零，因为当a=0时，此函数变成了一次函数。如果令y=0，则此函数解析式变为一个二次方程。
对此教师还可以引入二次函数图象来进一步解释二次函数的性质等。画出二次函数图象，结合图象来认识二次函数的特点。重点从其对称轴、顶点、交点等关键知识点入手，让学生深入理解并认知其性质，从而更加透彻地理解二次函数，为二次函数知识的深入学习打好基础。
（二）领会函数图象，深化理解函数
在二次函数学习过程中，图象是必不可少的学习项目，图象也是辅助学习的必备工具，但也是学生学习的难点，教师必须重视二次函数图象教学。总结以往图象教学中学生常遇到的难点问题，从这些关键点入手，进行特殊深入的讲解，再针对不同学生的不同问题来进行一对一指导，这样才能达到预期的教学效果。
首先，绘制函数图象。二次函数的深入研究与认知可以从函数图象的绘制开始，教师应该先引导学生如何通过对二次函数解析式进行判断，来精准地绘制出二次函数图象。学会根据解析式类型，来绘制图象。其中要集中把握几个图象绘制的关键点：对称轴、顶点坐标、开口方向、交点坐标等。
例如，一般式y=ax2+bx+c（a≠0）图象的绘制。首先，看a，当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下。其次，确定对称轴（也为顶点横坐标）。再次，明确c值，c的值是图象与y轴交点的纵坐标，通过确定这三大要素，基本上就能画出一个清晰、精准的函数图象。
对于一般式来说，就要从这几大方面入手，进行逐步引导。教师可以先自行一边讲解一边操作画图，然后，给出一个一般式，让学生结合这个一般式来按照以上步骤自行分析、理解并画出图象。
同样，对于交点式解析式：y=a（x-x1）（x-x2），则要遵从以上类似的步骤，先明确 a 值的正负，确定抛物线开口，然后，明确x1，x2 两个数的具体数值，来确定图象在x轴的坐标，再对应画出函数图象。
其次，挖掘图象与解析式间的关系。二次函数图象与解析式间的关系是二次函数学习的一大重点内容，熟悉并掌握二者间的关系，能够根据解析式的变化来判断其图象特征，同时又能通过看图象来求出函数解析式，能这样灵活转换二者之间的关系，才算真正理解二次函数的相关知识，也才能提高二次函数学习水平。
（1）图象平移变化。二次函数平移变化，分为左右平移和上下平移，平移后函数解析式也将发生变化，其中，左右平移规律为：向左平移p个单位，解析式要变成x-p，相反，向右平移p个单位，则解析式要变成x+p，简单概括为“左减右加”。
对此，教师可以通过图象的左右平移变化，向学生展示图象变化规律，让学生观察解析式等的变化，让学生形成形象直观的印象，从而更加深入地理解图象的平移规律。
（2）图象对称轴的变化。对称轴变化也是二次函数图象教学中非常重要的知识点之一，教师要重视图象对称轴知识点的教学。借助图象来引导学生，让学生通过观察图象中对称轴的变化规律来掌握解析式的变化规律。
教师可以让学生自行画图总结，鼓励学生之间进行集中讨论，通过讨论最终得出结论。这样有利于调动学生思维积极性，培养学生的数学思维能力，培养学生的自我探索精神。 （三）小组讨论，集中探索
中学二次函数知识的学习需要学生具有探索精神，教师作为一个引导者、组织者应该积极组织学生自行探索学习，鼓励学生通过集中讨论、自我分析、自我探究等方式来获得深层次的知识。因此，教师可以采用小组讨论、合作探究的教学方法，针对二次函数中较为棘手的一些问题，教师暂时不公布答案，而是将学生分成小组，让小组学生集中讨论、相互配合，探究问题的答案。
例如，二次函数图象平移规律就是一个值得深入探索的问题，其中包括图象的左右平移、上下平移。为了能够培养学生的自我探索精神，能够加深对图象平移规律的理解与掌握，教师可以先为学生做个示范，通过结合图象来引导学生掌握二次函数图象横坐标左右平移规律，左右平移后，函数解析式的变化特点等。
学生在了解并掌握了图象左右平移规律后，教师对学生进行分组，要求小组学生共同透过图象分析二次函数图象纵坐标上下平移的规律。
小组学生经过合作探究、讨论，并结合前面教师的示范引导，可能会形成不同的结论，如，一部分小组学生得出了：图象上下平移后，解析式的变化规律为“上加下减”，另一些小组学生则提出了相反的观点。
在不同的结论、争辩中，教师可以亲自利用图象操作，让学生共同进入分析状态，对自己的结论进行合理评价。此时学生会恍然大悟，会对自己的思维过程进行重新梳理，并改变思维方法，意识到思维过程中的错误。
（四）旁征博引，活跃思维
数学知识间存在着密不可分的联系，任何一个数学知识原理的形成也都是建立在其他原理基础上，正是因为数学科目这种较强的逻辑性、规律性，才成为学生学习的难点。对此，数学教师应该进行旁征博引，注重建立二次函数同其他知识点之间的联系，培养学生的数学思维，提高学生思维的敏捷度。
例如，二次函数同一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，引导学生通过观察二次函数图象来探索一元二次方程解的个数，通过分析图象掌握一元二次不等式的解集。
学生经过反复地观察图象，就会意识到二次函数图象的奇妙之处，感受到灵活运用函数图象能够解决更多的问题，化复杂为简单。这对于学生数形结合的思维能力的培养有着非常重要的作用。
（五）习题验证，不断完善方法
科学检验学生学习效果的最佳方法就是借助习题，教师定期为学生布置一些二次函数方面的练习题目，让学生通过做题来初步检测其对二次函数相关性质、原理等的理解程度。总结分析学生学习的薄弱环节，进而从这些薄弱环节入手，进行进一步的引导，及时解除学生的困惑，逐渐提高学生对二次函数的认知水平，提高教学效果。
总之，二次函数是中学数学教学的重点和难点，教师必须及时了解学生，明确他们学习中的困难，深入指导、灵活变换教学方法，为学生高效学习创造条件。培养学生的学习兴趣，指导学生采用正确的学习方法，从整体上提高教学效果。
（责编 卢建龙）