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江苏省扬州市的2010年数学中考压轴题，是一道构思巧妙、设计独特、由易到难的好题目.它着重考查了学生的综合数学知识、解题技巧和数学思维品质，涉及到了多个中学数学的典型知识点，全面考查了学生的思维能力，值得深究.本文从分析这道压轴题入手，对其所涉及的知识点进行简要分析，并谈谈在素质教育时代加强对学生思维品质培养的重要性，对教学中如何培养学生的思维品质提出几点建议，以期能更好地帮助学生学好数学这门课程.
一、 原题再现与分析
江苏省扬州市的2010年数学中考压轴题原题如下：
28． 本题满分12分
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1） 求线段AD的长；
（2） 若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
① 求y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
② 当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3） 若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
（一） 题目特点分析
本题虽为2010年扬州市中考数学的压轴题，但从整体上来看题干简洁直观、操作简单，与平时的教学重点相关；在问题设计上由易到难，使考生拾级而上增强了考生的自信心.为考生成功解决问题做好了心理上的准备，消除了对压轴题偏难偏怪的心理紧张，这也体现了在考题设计上的人文关怀.出题者设计的这几个问题，能让考生根据平时的学习找到解题思路，且部分题目解题思路较广，可从多个角度找出解题方法，每个考生都可根据自己的解题思维方式灵活选择适合自己的解题方法.
本题涉及的知识点较多，注重对考生知识和能力水平的考查.这道压轴题涉及的知识点主要有：勾股定理、直角三角形的面积计算方法、相似三角形的特点与运用、二次方程式的求解和最值计算等；考查涉及的思想方法主要有：一般与特殊思想，二次方程思想、动态思想和范围计算思想；主要涉及的能力有：二次方程运算能力、识图能力、数图转换能力等；从解答过程上来看：问题难度逐层递进、知识点逐渐增加、要求考生思维缜密.此外，这道压轴题还突出了对考生思维品质和能力的考查.
这道压轴题的设计有较强的区分功能，整套题目在设计上也是由易到难，突出了中考对学生综合能力的考查和难度，具有选拔性.随着三个问题难度的不断加大，能够完成题量的考生逐步减少，最后由于时间和难度等只有少数同学才能顺利完成整个题目，这给高中学校人才的选拔提供了公平依据.
（二） 对考生在这道压轴题上出现的问题分析
1. 第（1） 小题比较简单通过两次运用勾股定理便可得出答案，解决问题的关键是考生要知道直角三角形面积的两种算法：两条直角边的乘积再除以2和底边与高的乘积再除以2.但很遗憾有些考生没有注意到这个关键解题点，导致第一小题就没能回答出来，下面的题目就更无法下手了.
解题方法如下：首先由勾股定理可计算出AB=5，再由直角三角形面积的两种算法可知AC•BC=AB•CD，得出CD=，再根据勾股定理得出AD=
2. 第（2） 小题或是由于第（1） 题的结论有误，或是由于没有想到对x取值范围的分析，只得出一个关于x与y关系的方程式，因为考虑不全面所以未能把整个小题都回答正确，只得到很少的分数.此题的解题关键是对x的取值范围进行分析，分为两种情况：
① 0＜ x ≤， ② ＜ x ≤5
3. 第（3） 小题对学生来说比较有难度，这个小题与前两个小题没有直接关系，学生没认真研读题目误以为和前两个小题目有关，直接套用前两问的结果或算法结果导致出错，有些同学则由于考虑问题不全面没能得出正确答案.
从这道中考压轴题目所暴露出的问题不得不让我们反思学校平时的教学，教师在平时的课堂教学中除重视基础理论知识的教育外，还要注重对学生基本解题技巧和解题方法的教学，素质教育要求下教师必须重视对学生思维品质和能力的培养，提高学生分析问题、解决问题的能力.贯彻数学新课标改革要求关注学生数学思维品质培养，提高学生运用所学数学理论知识解决问题能力的要求，促进学生数学思维品质的整体提高.
二、 素质教育时期加强对学生数学思维品质的培养
很多中学生都感觉数学很难理解和学习，烦琐、复杂、易变是数学公认的特点.这也使得很多学生对数学失去兴趣，不愿意学习数学，由于数学考试涉及的知识点较多，这就势必造成恶性循环，使得学生的数学成绩不断下滑.为了让学生更好地学习数学，在教学中必须注重对学生数学思维能力的培养.
（一）注重对学生严谨的推理意识和科学态度的培养
数学要求严谨性，因此解决数学问题需要严谨的科学态度和正确的推理步骤.通过解题教学可以使学生懂得数学论证的严谨性，数学解题需要论证步步有依据，要符合逻辑，言之有理，从而培养学生严谨的学习态度和实事求是、不轻率盲从的科学推理态度.比如说解决数学如果没有对概念的正确理解，思维将处于混乱状态.如果说对概念、公式、定理的理解和正确而严密的表述是正确思维的前提，那么清晰明确的思维脉络，则是正确思维的保证.因而培养学生思维的顺序性显得非常重要.如：OB，OC是∠AOD内的两条射线，那么图中共有几个角？解决这个问题首先是对角的概念的理解，然后才是确定角的总个数.首先从射线OA数起，射线OA与其他三条射线可以构成三个角，再从射线OB数和其他两条射线可构成两个角……这样有序的数，便不重不漏，正确地得出角的总个数.掌握了这个顺序性后，再把问题加深，如∠AOD内有7条从顶点发出的射线可以构成几个角？在∠AOD内部有n条从顶点发出的射线呢？这样不仅培养了学生顺序性思维能力，而且也培养了学生的观察力.
（二） 注重对学生思维广阔性的培养
思维的广阔主要表现为解题思路开阔，会全方面的分析问题，能够从多个方面、多个角度研究问题.在平时的教学中，教师可以通过对派生公式的分析，培养学生的思维广阔性.派生公式就是指，由已知公式推导出的重要理论公式，例如：以公式形式出现在教材上的一些有重要工具作用的习题结论.这些理论是对那些公式的延伸，有较强应用功能，运用它们在解题时常能起到化难为易、化繁为简的作用.
例如，在讲授完全平方式（a±b）2=a2±2ab+b2的运用时，除了要教会学生公式正向、反向的运用外，还要引导学生仔细观察公式，将公式两边重新组合，归纳它们重新组合后得到的一些公式，这就得到了完全平方公式的派生公式：
（1） a2+b2=（a+b）2- 2ab；
（2） a2+b2=（a-b）2+ 2ab；
（3） （a+b）2=（a-b）2+ 4ab；
（4） （a-b）2=（a+b）2- 4ab.
有了这些派生公式，学生在以后碰到已知（a+b），（a+b）2和（a-b）这三个量中的任意两个量，求其中一个量的考题时，就可以容易地解决这些问题了.除此之外，有了这些知识的铺垫，教师在讲授一元二次方程的根与系数关系时，可以就行扩展研究.例如：已知x1，x2是方程 x2+3x-1=0的两个根，求（1）x12 +x22；（2）（x1-x2 ）2；在解决这个问题时，学生就很容易想到利用完全平方式派生公式，提高了解题的速度，降低了题目的难度，让学生感到数学也没有想象中的那么难.
诸如此类的对派生公式的例子有很多，在数学教学中教师要积极引导学生去寻找、去发现一些非常有用的工具性公式，让学生认识到一些基础公式的广泛用处，认识到结论的重要性，从而提高思维广阔性.
（三） 注重对学生思维批判性的培养
所谓思维批判性，就是指思维的独立性.即在思维活动中能够独立思考，善于发现问题并提出疑问，并敢于发表自己的不同看法和想法，能够客观评价思维考虑的结果和及时发现和纠正存在的问题.
在数学活动的思维中，思维批判性主要表现为对已有的数学表达式和论证过程敢于提出自己的独到见解，能够自我公正评价，排除障碍，辨别正误直至寻找到最佳答案.教师在解题的教学中可以通过纠错、对比和辨析的方法，发现问题实质所在，进一步培养学生的思维批判性.
（四） 注重对学生思维深刻性的培养
思维深刻性主要表现在对数学问题思考时，能抓住问题的本质和规律所在，解决问题后能自己总结出规律和此类题目的解题方法，使学生的认识上升到一个更高的层次.为此，笔者认为可从以下两方面着手培养学生思维的深刻性.
1. 注重方法和过程的讲解
很多中学数学教师在教学中，只关注对公式结论教学，忽视该公式的推理过程和推理方法，结果学生只能是“只知其然，而不知其所以然”从而对知识不能做到深刻理解.为此，教师要注重对公式推导方法和过程的教学，让学生能深刻理解公式，从而灵活运用，使其数学思维品质得到发展.
例如：在讲解三角形全等中的SAS时，要给学生讲授SSA为什么不能够判定出两个三角形全等.此时，教师可在黑板上画上两个三角形：一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，使学生看到它们虽都满足SSA，但这两个三角形不可能全等.随后，教师可再提出问题：若这两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形，它们全等吗？这时引导学生，学生就能在有深度和广度的问题中发挥积极性，使思维深刻性得到发展.
2. 注重对学生做题技巧的点拨
很多数学题目在解题过程中都有技巧，学生明白和懂得运用这些技巧就可以更快、更好地解决问题.近几年各地中考中都出现了一些注重对学生揣测出题者意图的“智慧”或技巧的考查.这类题型针对的往往不是数学中的具体知识点，学生是否具有良好的数学素养和思维品质就可以通过这类题目进行检验.但初中学生由于理论学习不足或其他因素不能发现题目中的做题技巧，教师就可以通过对几个类型的题目讲解，对学生进行点拨，这样也有利于学生智力和思维深刻性的发展.例如下面这个题目：
有三张大小相同的正方形卡片A、B、C，把他们叠放到底面是正方形的盒子底上，盒底未被覆盖部分用阴影表示.按图1-1摆放，阴影部分面积为S1；按图1-2摆放，阴影部分面积为S2，则S1 S2（填 “＞”“＜”“＝”）.
分析通过对图进行观察，发现在图1-1中，卡片C左右移动时S1不变；在图1-2中，卡片B2上下移动时S2不变，即这两个图均可视为特殊情况.如图1-3，可设正方形底盒的边长为x，设三张卡片的边长为y，那么可得出两图中S1=S2=（x-y）2,在这个例子中计算是很简单的，即使是小学生也可以完成.但出题者的意图不在于此，而是对考生智慧和技巧的考查，这种技巧体现在对“等面积图形”的灵活考查和转换，它考查的是对学生长期积累技巧的适时爆发.
结语
素质教育时代，学校教育的重点应放在注重提高学生学习素质和能力的全面发展上.在对学生全面培养上，注重对学生数学思维品质的培养是发展学生能力和智力的关键突破口.因此，这就要求我们的中学数学教师能够紧好对学生思维品质培养的这个突破口因材施教，提高教学水平，创新教学方式，帮助学生智力、能力和创新能力的全面发展.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 原题再现与分析
江苏省扬州市的2010年数学中考压轴题原题如下：
28． 本题满分12分
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1） 求线段AD的长；
（2） 若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
① 求y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
② 当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3） 若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
（一） 题目特点分析
本题虽为2010年扬州市中考数学的压轴题，但从整体上来看题干简洁直观、操作简单，与平时的教学重点相关；在问题设计上由易到难，使考生拾级而上增强了考生的自信心.为考生成功解决问题做好了心理上的准备，消除了对压轴题偏难偏怪的心理紧张，这也体现了在考题设计上的人文关怀.出题者设计的这几个问题，能让考生根据平时的学习找到解题思路，且部分题目解题思路较广，可从多个角度找出解题方法，每个考生都可根据自己的解题思维方式灵活选择适合自己的解题方法.
本题涉及的知识点较多，注重对考生知识和能力水平的考查.这道压轴题涉及的知识点主要有：勾股定理、直角三角形的面积计算方法、相似三角形的特点与运用、二次方程式的求解和最值计算等；考查涉及的思想方法主要有：一般与特殊思想，二次方程思想、动态思想和范围计算思想；主要涉及的能力有：二次方程运算能力、识图能力、数图转换能力等；从解答过程上来看：问题难度逐层递进、知识点逐渐增加、要求考生思维缜密.此外，这道压轴题还突出了对考生思维品质和能力的考查.
这道压轴题的设计有较强的区分功能，整套题目在设计上也是由易到难，突出了中考对学生综合能力的考查和难度，具有选拔性.随着三个问题难度的不断加大，能够完成题量的考生逐步减少，最后由于时间和难度等只有少数同学才能顺利完成整个题目，这给高中学校人才的选拔提供了公平依据.
（二） 对考生在这道压轴题上出现的问题分析
1. 第（1） 小题比较简单通过两次运用勾股定理便可得出答案，解决问题的关键是考生要知道直角三角形面积的两种算法：两条直角边的乘积再除以2和底边与高的乘积再除以2.但很遗憾有些考生没有注意到这个关键解题点，导致第一小题就没能回答出来，下面的题目就更无法下手了.
解题方法如下：首先由勾股定理可计算出AB=5，再由直角三角形面积的两种算法可知AC•BC=AB•CD，得出CD=，再根据勾股定理得出AD=
2. 第（2） 小题或是由于第（1） 题的结论有误，或是由于没有想到对x取值范围的分析，只得出一个关于x与y关系的方程式，因为考虑不全面所以未能把整个小题都回答正确，只得到很少的分数.此题的解题关键是对x的取值范围进行分析，分为两种情况：
① 0＜ x ≤， ② ＜ x ≤5
3. 第（3） 小题对学生来说比较有难度，这个小题与前两个小题没有直接关系，学生没认真研读题目误以为和前两个小题目有关，直接套用前两问的结果或算法结果导致出错，有些同学则由于考虑问题不全面没能得出正确答案.
从这道中考压轴题目所暴露出的问题不得不让我们反思学校平时的教学，教师在平时的课堂教学中除重视基础理论知识的教育外，还要注重对学生基本解题技巧和解题方法的教学，素质教育要求下教师必须重视对学生思维品质和能力的培养，提高学生分析问题、解决问题的能力.贯彻数学新课标改革要求关注学生数学思维品质培养，提高学生运用所学数学理论知识解决问题能力的要求，促进学生数学思维品质的整体提高.
二、 素质教育时期加强对学生数学思维品质的培养
很多中学生都感觉数学很难理解和学习，烦琐、复杂、易变是数学公认的特点.这也使得很多学生对数学失去兴趣，不愿意学习数学，由于数学考试涉及的知识点较多，这就势必造成恶性循环，使得学生的数学成绩不断下滑.为了让学生更好地学习数学，在教学中必须注重对学生数学思维能力的培养.
（一）注重对学生严谨的推理意识和科学态度的培养
数学要求严谨性，因此解决数学问题需要严谨的科学态度和正确的推理步骤.通过解题教学可以使学生懂得数学论证的严谨性，数学解题需要论证步步有依据，要符合逻辑，言之有理，从而培养学生严谨的学习态度和实事求是、不轻率盲从的科学推理态度.比如说解决数学如果没有对概念的正确理解，思维将处于混乱状态.如果说对概念、公式、定理的理解和正确而严密的表述是正确思维的前提，那么清晰明确的思维脉络，则是正确思维的保证.因而培养学生思维的顺序性显得非常重要.如：OB，OC是∠AOD内的两条射线，那么图中共有几个角？解决这个问题首先是对角的概念的理解，然后才是确定角的总个数.首先从射线OA数起，射线OA与其他三条射线可以构成三个角，再从射线OB数和其他两条射线可构成两个角……这样有序的数，便不重不漏，正确地得出角的总个数.掌握了这个顺序性后，再把问题加深，如∠AOD内有7条从顶点发出的射线可以构成几个角？在∠AOD内部有n条从顶点发出的射线呢？这样不仅培养了学生顺序性思维能力，而且也培养了学生的观察力.
（二） 注重对学生思维广阔性的培养
思维的广阔主要表现为解题思路开阔，会全方面的分析问题，能够从多个方面、多个角度研究问题.在平时的教学中，教师可以通过对派生公式的分析，培养学生的思维广阔性.派生公式就是指，由已知公式推导出的重要理论公式，例如：以公式形式出现在教材上的一些有重要工具作用的习题结论.这些理论是对那些公式的延伸，有较强应用功能，运用它们在解题时常能起到化难为易、化繁为简的作用.
例如，在讲授完全平方式（a±b）2=a2±2ab+b2的运用时，除了要教会学生公式正向、反向的运用外，还要引导学生仔细观察公式，将公式两边重新组合，归纳它们重新组合后得到的一些公式，这就得到了完全平方公式的派生公式：
（1） a2+b2=（a+b）2- 2ab；
（2） a2+b2=（a-b）2+ 2ab；
（3） （a+b）2=（a-b）2+ 4ab；
（4） （a-b）2=（a+b）2- 4ab.
有了这些派生公式，学生在以后碰到已知（a+b），（a+b）2和（a-b）这三个量中的任意两个量，求其中一个量的考题时，就可以容易地解决这些问题了.除此之外，有了这些知识的铺垫，教师在讲授一元二次方程的根与系数关系时，可以就行扩展研究.例如：已知x1，x2是方程 x2+3x-1=0的两个根，求（1）x12 +x22；（2）（x1-x2 ）2；在解决这个问题时，学生就很容易想到利用完全平方式派生公式，提高了解题的速度，降低了题目的难度，让学生感到数学也没有想象中的那么难.
诸如此类的对派生公式的例子有很多，在数学教学中教师要积极引导学生去寻找、去发现一些非常有用的工具性公式，让学生认识到一些基础公式的广泛用处，认识到结论的重要性，从而提高思维广阔性.
（三） 注重对学生思维批判性的培养
所谓思维批判性，就是指思维的独立性.即在思维活动中能够独立思考，善于发现问题并提出疑问，并敢于发表自己的不同看法和想法，能够客观评价思维考虑的结果和及时发现和纠正存在的问题.
在数学活动的思维中，思维批判性主要表现为对已有的数学表达式和论证过程敢于提出自己的独到见解，能够自我公正评价，排除障碍，辨别正误直至寻找到最佳答案.教师在解题的教学中可以通过纠错、对比和辨析的方法，发现问题实质所在，进一步培养学生的思维批判性.
（四） 注重对学生思维深刻性的培养
思维深刻性主要表现在对数学问题思考时，能抓住问题的本质和规律所在，解决问题后能自己总结出规律和此类题目的解题方法，使学生的认识上升到一个更高的层次.为此，笔者认为可从以下两方面着手培养学生思维的深刻性.
1. 注重方法和过程的讲解
很多中学数学教师在教学中，只关注对公式结论教学，忽视该公式的推理过程和推理方法，结果学生只能是“只知其然，而不知其所以然”从而对知识不能做到深刻理解.为此，教师要注重对公式推导方法和过程的教学，让学生能深刻理解公式，从而灵活运用，使其数学思维品质得到发展.
例如：在讲解三角形全等中的SAS时，要给学生讲授SSA为什么不能够判定出两个三角形全等.此时，教师可在黑板上画上两个三角形：一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，使学生看到它们虽都满足SSA，但这两个三角形不可能全等.随后，教师可再提出问题：若这两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形，它们全等吗？这时引导学生，学生就能在有深度和广度的问题中发挥积极性，使思维深刻性得到发展.
2. 注重对学生做题技巧的点拨
很多数学题目在解题过程中都有技巧，学生明白和懂得运用这些技巧就可以更快、更好地解决问题.近几年各地中考中都出现了一些注重对学生揣测出题者意图的“智慧”或技巧的考查.这类题型针对的往往不是数学中的具体知识点，学生是否具有良好的数学素养和思维品质就可以通过这类题目进行检验.但初中学生由于理论学习不足或其他因素不能发现题目中的做题技巧，教师就可以通过对几个类型的题目讲解，对学生进行点拨，这样也有利于学生智力和思维深刻性的发展.例如下面这个题目：
有三张大小相同的正方形卡片A、B、C，把他们叠放到底面是正方形的盒子底上，盒底未被覆盖部分用阴影表示.按图1-1摆放，阴影部分面积为S1；按图1-2摆放，阴影部分面积为S2，则S1 S2（填 “＞”“＜”“＝”）.
分析通过对图进行观察，发现在图1-1中，卡片C左右移动时S1不变；在图1-2中，卡片B2上下移动时S2不变，即这两个图均可视为特殊情况.如图1-3，可设正方形底盒的边长为x，设三张卡片的边长为y，那么可得出两图中S1=S2=（x-y）2,在这个例子中计算是很简单的，即使是小学生也可以完成.但出题者的意图不在于此，而是对考生智慧和技巧的考查，这种技巧体现在对“等面积图形”的灵活考查和转换，它考查的是对学生长期积累技巧的适时爆发.
结语
素质教育时代，学校教育的重点应放在注重提高学生学习素质和能力的全面发展上.在对学生全面培养上，注重对学生数学思维品质的培养是发展学生能力和智力的关键突破口.因此，这就要求我们的中学数学教师能够紧好对学生思维品质培养的这个突破口因材施教，提高教学水平，创新教学方式，帮助学生智力、能力和创新能力的全面发展.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文