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摘要：针对非对称布桩的群桩基础，基于剪切位移法推导了非等长两桩相互作用系数解析解，分别给出了长桩对短桩的、短桩对长桩的相互作用系数，同时本文方法考虑了桩的“加筋效应”，将计算结果同弹性理论法和剪切位移法进行了比较，结果显示本文方法更接近实测值。
关键词：沉降和谐；非等长桩；剪切位移法；加筋效应；两桩相互作用系数
Abstract: Two piles interaction coefficients analytic solution were given based on shear displacement method.This method could consider asymmetric piles foundation. The interaction coefficient were given,which include a short pile to long pile and a long pile to short pile. At the same time the pile "reinforcement effect" was taken into account.Compared with the elasticity theory method and the analytical solution of the shear displacement method, the results of this paper were closer to the measured value.
Key words: settlement harmony; non-symmetrical piles; shear displacement method;
reinforcement effect; two piles interaction coefficient
一、引言
随着社会的发展和科学技术的进步，重型和大型地基基础工程的建设日益增多，传统基于对称思想的桩基础设计理论和方法面临着严峻的挑战，越来越多的专家学者、工程设计人员开始着眼于非对称布桩的基础设计思想。非对称布桩是在设计过程中考虑群桩的沉降和应力分担效应，人为改变基础的刚度分布，以促使基础达到沉降和谐[1]或各桩应力分布均匀的目的。目前，基础非对称布桩的设计思想已在不少实际工程中得到应用，相关的研究工作也正在开展。马骥[2]等提出了长短桩复合地基设计概念。杨敏[3]提出了长短桩桩基础的设计思想，并应用到实际工程中。杨桦[4]通过室内试验研究了长短桩组合桩基础在竖向荷载作用下的荷载沉降关系、竖向荷载作用下的荷载传递特性和破坏机理，并提出了基础沉降的计算方法。王伟[5]利用竖向荷载作用下长短桩群桩基础中单桩的桩侧摩阻力分布函数表达式，推导了长短桩基础中桩顶荷载和位移的刚度矩阵。但是目前基础非对称布桩的分析理论还显得比较薄弱，工程实用性较差。
弹性理论法被认为是比较成熟的群桩沉降计算方法，该方法通过对群桩中两根桩沉降的相互作用进行研究，利用对称性和叠加原理将非对称布置的两桩分析结果擴展至群桩沉降的计算，从而得到基础的总沉降和不均匀沉降。两桩相互系数表达式为：
（1）
传统的弹性理论法没有考虑桩的“加筋效应”，得到的群桩相互作用系数偏大。Mylonakis & Gazetas[6]基于剪切位移理论，考虑邻桩的存在对地基变形的影响，较系统地分析了两桩相互作用，并将计算结果与弹性理论解答进行了比较。胡德贵[7]将文献[6]的结果推广到分层土地基中的群桩沉降计算。梁发云[8]等基于“虚拟桩”模型，以两桩相互作用的基本模型为例，研究桩“加筋效应”对群桩相互作用的影响，并将计算结果与文献[6]的解答进行了对比，指出了后者存在的不足。
本文将以剪切位移理论为出发点，通过理论推导得出一个既能考虑桩的“加筋效应”，同时也能考虑非等长布桩条件下的群桩相互作用系数的求解公式。
二、长桩对短桩相互作用系数
两桩的半径相等，假定桩1长度大于桩2。根据剪切位移理论[9]，若忽略桩2 的存在，此时桩2处土能自由变形，其两桩相互作用系数为：
（2）
不考虑加筋效应时，邻桩2的沉降可表示为为：
（3）
其中： 为桩沉降影响范围； 为桩1的沉降。
然而邻桩的存在实际上会阻碍土的自由变形，邻桩的附加沉降将会小于公式（3）的计算结果，也就是说，桩与桩相互作用系数会因桩的“加筋效应”而减小。为了考虑“加筋效应”，将邻桩视为梁，土对桩的作用简化为弹簧，桩端土弹簧刚度为，桩周土弹簧刚度为 ， 代表桩截面积，将式（3）得到的源桩引起接受桩所在位置土的位移作为对梁的位移激励，分析模型如图1所示。
图1 非等长两桩相互作用系数分析模型
邻桩2的平衡方程为：
（4）
解方程（4）得：
（5）
（6）
其中 ， 表示桩的周长。
源桩1满足的静力平衡方程为：
(7)
解方程（7）得：
（8）
（9）
因为对于单桩，桩顶轴力=单桩刚度×桩顶沉降，所以式（6）除以式（5）、式（9）除以式（8）分别可以得到两桩的刚度：
（10）
（11）
把 、 分别代入得
(12)
式（12）就是长桩1对短桩2的相互作用系数 。式中 代表桩1 深度以下的桩的刚度；、 ，分别代表桩1和桩2在 深度处的位移，分析模型如图2。
图2 桩1作为源桩，求解、的分析模型
这时由于2桩 深度以下均是土，将不存在“加筋效应”，根据公式（2）可得：
（13）
所以桩1对桩2的相互作用系数可以化简为：
(14)
其中 表示桩1深度以下的部分桩的刚度，如果源桩长度恰好为 ，则 表示桩底土刚度。
公式（14）公式中有三个未知数，即隐含在 中的 、 、 。 可通过文献[9]提出的公式求解，也可取桩侧土荷载传递曲线的割线斜率求解。 、 可通过实测的静载曲线推求，也可通过文献[1]的方法推求。如果源桩长度恰好为 ， 可采用文献[12]推荐的公式（15）求解。
（15）
式中： 为桩端土深度效应的沉降折减系数，可取0.5—0.78，对于超长桩，可取0.5； 表示桩端土压缩模量。
图3表示的是在长桩长径比恒定的情况下，不同短桩长度下，求得的长桩对短桩的相互作用系数 。从中可以得出以下结论：1、考虑加筋效应后所得的 较不考虑加筋效应的要小，说明考虑加筋效应后确实能降低目前被高估的群桩相互作用系数；2、加筋效应系数与长桩与短桩的长度比呈负相关关系，两者比值越小，加筋效应越明显，两桩等长时，加筋效应最大；比值为正无穷时，将不存在“加筋效应”。
表1 计算所用的桩和土主要参数
图3 考虑加筋效应的 计算结果
三、短桩对长桩的相互作用系数
当短桩2作为受荷桩时，这时不仅桩顶平面以下 深度内存在加筋效应，而且在桩2桩端以下 深度内也存在加筋效应，也就是说加筋效应存在于桩1的整个桩深范围内，因此存在加筋效应的桩长度为 ，所以这时候可以把桩2看成和桩1等长来考虑。这时 的计算公式为：
(16)
当两桩长度相等时，通过对比，不难发现公
式（14）和（16）是一样的，也就是说传统的等长布桩群桩相互作用系数只是本文的一个特解。
图4表示的是 有限元（ABAQUS）计算结果与理论计算结果对比，计算时采用表2的物理力学参数。从图4可以得出 和 时，二者的ABAQUS计算结果很接近，进一步说明了公式（16）计算方法可能是可行的。理论计算结果比有限元模拟结果略小，原因在于利用公式求 时，本文桩的 取12d。如果增大 ，二者计算结果将更吻合。
表2 模型主要参数
图4有限元（ABAQUS）计算结果与理论计算结果对比
四、实例分析
1、实例1
文献[10]做了一组长短桩相互影响系数的模型试验，桩土物理力学参数如表3所示。
表3 模型长短桩、土物理力学参数
图5表示不同方法得到的长短桩对短桩的相互影响系数随桩距径比变化关系，从图5中可以得出，本文计算的结果与实测值具有很好的一致性，只是在3倍距径时差别较大，Randolph方法则高估了两桩相互影响系数。
图5不同方法得到的长桩对短桩相互作用系数的对比
2、实例2
文献[11]做了一组研究两桩相互影响系数的模型试验，桩土物理力学参数如表4所示。
表4 模型桩、土物理力学参数
图6表示本文方法得到的相互影响系数与实测值和Poulos弹性理论解答的关系，从图中可以得出本文方法得到的结果和实测值具有很好的一致性，而Poulos弹性理论方法则过高估计了两桩的相互影响系数。
图6 不同方法得到的两桩相互作用系数的对比
五、结论
本文方法主要针对工程设计中非对称布桩提出的。通过推导，本文得到了不同长度的两桩相互作用系数，同时考虑了桩的加筋效应对相互作用系数的影响。利用本文解析公式可以得出非对称布桩工程的总沉降和不均匀沉降，从而方便设计人员改变基础的刚度分布，以促使基础达到沉降和谐，在确保安全的前提下降低工程造价。理论推导与模型试验结果相比，二者显示出很好的一致性。桩的影响半径的取值对两桩相互作用系数的影响巨大，采用合理的影响半径，这是本文结果与实测结果吻合良好的前提条件。
参考文献
1、郑贺.基于实现桩筏基础沉降和谐的优化设计方法研究[D].河海大学硕士学位论文,南京,2009年6月.
2、马骥,张东刚等.长短桩复合地基设计计算[J].岩土工程技术,2001(2):86-91.
3、杨敏,杨桦,王伟.长短桩组合桩基础设计思想及其变形特性分析[J].土木工程学报,2005,38(12):103-108.
4、杨桦.长短桩组合桩基础工作性状及工程设计问题研究[D].同济大学博士学位论文,上海,2006年3月.
5、王伟,杨敏,王红雨.竖向受荷长短桩基础的位移分析方法[J].岩土工程学报,2005,27(11):1323-1328.
6、Mylonakis,G.& Gazetas,G.Settlement and additional internal forces of grouped piles in layered soil[J].Géotechnique,1998,48(1):55-72.
7、胡德贵,罗书学,赵善锐.加筋效应对群桩沉降计算的影响[J].工业建筑,2000,30(10):38-42.
8、梁发云,陈龙珠,李镜培.加筋效应对群桩相互作用系数的影响[J].岩土力学,2005,26(11):1757-1760.
9、Randolph,M.F.& Wroth,C.P.Analysis of deformation of vertically loaded piles[J].Geotech.Eng.Div.ASCE,1978,104(12):1465-1487.
10、王涛.带裙房高层建筑桩基优化设计与桩土相互作用系数的试验研究[D].中国建筑科学研究院博士论文,北京,2007年7月.
11、刘金砺,黄强,李华,高文生.竖向荷载下群桩变形性状及沉降计算[J].岩土工程学报,1995,17(6):1-13.
12、辛公锋.大直径超长桩侧阻软化试验与理论研究[D].浙江大学博士论文. 杭州，2006年.
作者简介：
郑贺 （1984—）男 硕士研究生 现主要从事地基基础检测工作
注：文章內所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词：沉降和谐；非等长桩；剪切位移法；加筋效应；两桩相互作用系数
Abstract: Two piles interaction coefficients analytic solution were given based on shear displacement method.This method could consider asymmetric piles foundation. The interaction coefficient were given,which include a short pile to long pile and a long pile to short pile. At the same time the pile "reinforcement effect" was taken into account.Compared with the elasticity theory method and the analytical solution of the shear displacement method, the results of this paper were closer to the measured value.
Key words: settlement harmony; non-symmetrical piles; shear displacement method;
reinforcement effect; two piles interaction coefficient
一、引言
随着社会的发展和科学技术的进步，重型和大型地基基础工程的建设日益增多，传统基于对称思想的桩基础设计理论和方法面临着严峻的挑战，越来越多的专家学者、工程设计人员开始着眼于非对称布桩的基础设计思想。非对称布桩是在设计过程中考虑群桩的沉降和应力分担效应，人为改变基础的刚度分布，以促使基础达到沉降和谐[1]或各桩应力分布均匀的目的。目前，基础非对称布桩的设计思想已在不少实际工程中得到应用，相关的研究工作也正在开展。马骥[2]等提出了长短桩复合地基设计概念。杨敏[3]提出了长短桩桩基础的设计思想，并应用到实际工程中。杨桦[4]通过室内试验研究了长短桩组合桩基础在竖向荷载作用下的荷载沉降关系、竖向荷载作用下的荷载传递特性和破坏机理，并提出了基础沉降的计算方法。王伟[5]利用竖向荷载作用下长短桩群桩基础中单桩的桩侧摩阻力分布函数表达式，推导了长短桩基础中桩顶荷载和位移的刚度矩阵。但是目前基础非对称布桩的分析理论还显得比较薄弱，工程实用性较差。
弹性理论法被认为是比较成熟的群桩沉降计算方法，该方法通过对群桩中两根桩沉降的相互作用进行研究，利用对称性和叠加原理将非对称布置的两桩分析结果擴展至群桩沉降的计算，从而得到基础的总沉降和不均匀沉降。两桩相互系数表达式为：
（1）
传统的弹性理论法没有考虑桩的“加筋效应”，得到的群桩相互作用系数偏大。Mylonakis & Gazetas[6]基于剪切位移理论，考虑邻桩的存在对地基变形的影响，较系统地分析了两桩相互作用，并将计算结果与弹性理论解答进行了比较。胡德贵[7]将文献[6]的结果推广到分层土地基中的群桩沉降计算。梁发云[8]等基于“虚拟桩”模型，以两桩相互作用的基本模型为例，研究桩“加筋效应”对群桩相互作用的影响，并将计算结果与文献[6]的解答进行了对比，指出了后者存在的不足。
本文将以剪切位移理论为出发点，通过理论推导得出一个既能考虑桩的“加筋效应”，同时也能考虑非等长布桩条件下的群桩相互作用系数的求解公式。
二、长桩对短桩相互作用系数
两桩的半径相等，假定桩1长度大于桩2。根据剪切位移理论[9]，若忽略桩2 的存在，此时桩2处土能自由变形，其两桩相互作用系数为：
（2）
不考虑加筋效应时，邻桩2的沉降可表示为为：
（3）
其中： 为桩沉降影响范围； 为桩1的沉降。
然而邻桩的存在实际上会阻碍土的自由变形，邻桩的附加沉降将会小于公式（3）的计算结果，也就是说，桩与桩相互作用系数会因桩的“加筋效应”而减小。为了考虑“加筋效应”，将邻桩视为梁，土对桩的作用简化为弹簧，桩端土弹簧刚度为，桩周土弹簧刚度为 ， 代表桩截面积，将式（3）得到的源桩引起接受桩所在位置土的位移作为对梁的位移激励，分析模型如图1所示。
图1 非等长两桩相互作用系数分析模型
邻桩2的平衡方程为：
（4）
解方程（4）得：
（5）
（6）
其中 ， 表示桩的周长。
源桩1满足的静力平衡方程为：
(7)
解方程（7）得：
（8）
（9）
因为对于单桩，桩顶轴力=单桩刚度×桩顶沉降，所以式（6）除以式（5）、式（9）除以式（8）分别可以得到两桩的刚度：
（10）
（11）
把 、 分别代入得
(12)
式（12）就是长桩1对短桩2的相互作用系数 。式中 代表桩1 深度以下的桩的刚度；、 ，分别代表桩1和桩2在 深度处的位移，分析模型如图2。
图2 桩1作为源桩，求解、的分析模型
这时由于2桩 深度以下均是土，将不存在“加筋效应”，根据公式（2）可得：
（13）
所以桩1对桩2的相互作用系数可以化简为：
(14)
其中 表示桩1深度以下的部分桩的刚度，如果源桩长度恰好为 ，则 表示桩底土刚度。
公式（14）公式中有三个未知数，即隐含在 中的 、 、 。 可通过文献[9]提出的公式求解，也可取桩侧土荷载传递曲线的割线斜率求解。 、 可通过实测的静载曲线推求，也可通过文献[1]的方法推求。如果源桩长度恰好为 ， 可采用文献[12]推荐的公式（15）求解。
（15）
式中： 为桩端土深度效应的沉降折减系数，可取0.5—0.78，对于超长桩，可取0.5； 表示桩端土压缩模量。
图3表示的是在长桩长径比恒定的情况下，不同短桩长度下，求得的长桩对短桩的相互作用系数 。从中可以得出以下结论：1、考虑加筋效应后所得的 较不考虑加筋效应的要小，说明考虑加筋效应后确实能降低目前被高估的群桩相互作用系数；2、加筋效应系数与长桩与短桩的长度比呈负相关关系，两者比值越小，加筋效应越明显，两桩等长时，加筋效应最大；比值为正无穷时，将不存在“加筋效应”。
表1 计算所用的桩和土主要参数
图3 考虑加筋效应的 计算结果
三、短桩对长桩的相互作用系数
当短桩2作为受荷桩时，这时不仅桩顶平面以下 深度内存在加筋效应，而且在桩2桩端以下 深度内也存在加筋效应，也就是说加筋效应存在于桩1的整个桩深范围内，因此存在加筋效应的桩长度为 ，所以这时候可以把桩2看成和桩1等长来考虑。这时 的计算公式为：
(16)
当两桩长度相等时，通过对比，不难发现公
式（14）和（16）是一样的，也就是说传统的等长布桩群桩相互作用系数只是本文的一个特解。
图4表示的是 有限元（ABAQUS）计算结果与理论计算结果对比，计算时采用表2的物理力学参数。从图4可以得出 和 时，二者的ABAQUS计算结果很接近，进一步说明了公式（16）计算方法可能是可行的。理论计算结果比有限元模拟结果略小，原因在于利用公式求 时，本文桩的 取12d。如果增大 ，二者计算结果将更吻合。
表2 模型主要参数
图4有限元（ABAQUS）计算结果与理论计算结果对比
四、实例分析
1、实例1
文献[10]做了一组长短桩相互影响系数的模型试验，桩土物理力学参数如表3所示。
表3 模型长短桩、土物理力学参数
图5表示不同方法得到的长短桩对短桩的相互影响系数随桩距径比变化关系，从图5中可以得出，本文计算的结果与实测值具有很好的一致性，只是在3倍距径时差别较大，Randolph方法则高估了两桩相互影响系数。
图5不同方法得到的长桩对短桩相互作用系数的对比
2、实例2
文献[11]做了一组研究两桩相互影响系数的模型试验，桩土物理力学参数如表4所示。
表4 模型桩、土物理力学参数
图6表示本文方法得到的相互影响系数与实测值和Poulos弹性理论解答的关系，从图中可以得出本文方法得到的结果和实测值具有很好的一致性，而Poulos弹性理论方法则过高估计了两桩的相互影响系数。
图6 不同方法得到的两桩相互作用系数的对比
五、结论
本文方法主要针对工程设计中非对称布桩提出的。通过推导，本文得到了不同长度的两桩相互作用系数，同时考虑了桩的加筋效应对相互作用系数的影响。利用本文解析公式可以得出非对称布桩工程的总沉降和不均匀沉降，从而方便设计人员改变基础的刚度分布，以促使基础达到沉降和谐，在确保安全的前提下降低工程造价。理论推导与模型试验结果相比，二者显示出很好的一致性。桩的影响半径的取值对两桩相互作用系数的影响巨大，采用合理的影响半径，这是本文结果与实测结果吻合良好的前提条件。
参考文献
1、郑贺.基于实现桩筏基础沉降和谐的优化设计方法研究[D].河海大学硕士学位论文,南京,2009年6月.
2、马骥,张东刚等.长短桩复合地基设计计算[J].岩土工程技术,2001(2):86-91.
3、杨敏,杨桦,王伟.长短桩组合桩基础设计思想及其变形特性分析[J].土木工程学报,2005,38(12):103-108.
4、杨桦.长短桩组合桩基础工作性状及工程设计问题研究[D].同济大学博士学位论文,上海,2006年3月.
5、王伟,杨敏,王红雨.竖向受荷长短桩基础的位移分析方法[J].岩土工程学报,2005,27(11):1323-1328.
6、Mylonakis,G.& Gazetas,G.Settlement and additional internal forces of grouped piles in layered soil[J].Géotechnique,1998,48(1):55-72.
7、胡德贵,罗书学,赵善锐.加筋效应对群桩沉降计算的影响[J].工业建筑,2000,30(10):38-42.
8、梁发云,陈龙珠,李镜培.加筋效应对群桩相互作用系数的影响[J].岩土力学,2005,26(11):1757-1760.
9、Randolph,M.F.& Wroth,C.P.Analysis of deformation of vertically loaded piles[J].Geotech.Eng.Div.ASCE,1978,104(12):1465-1487.
10、王涛.带裙房高层建筑桩基优化设计与桩土相互作用系数的试验研究[D].中国建筑科学研究院博士论文,北京,2007年7月.
11、刘金砺,黄强,李华,高文生.竖向荷载下群桩变形性状及沉降计算[J].岩土工程学报,1995,17(6):1-13.
12、辛公锋.大直径超长桩侧阻软化试验与理论研究[D].浙江大学博士论文. 杭州，2006年.
作者简介：
郑贺 （1984—）男 硕士研究生 现主要从事地基基础检测工作
注：文章內所有公式及图表请以PDF形式查看。