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【摘要】习题是数学教科书的重要组成部分，是培养学生思维品质的重要途径.从习题数量、习题题型和习题难度三个维度，对中新教科书中“二次函数”内容的习题进行比较分析，发现：新加坡大题数量比我国少，但小题数量比我国多，题目类型编排两国基本一致，但新加坡习题难度略低于我国.进一步研究发现：两国二次函数习题均重视基本思维品质的训练，体现了分层设计，但习题在抽象性、直观性、知识上有差异，在背景性上各有特点.
【关键词】二次函数；习题；比较研究
1引言
数学教科书是展现数学思维过程的重要场所，是学生获得数学知识、提高数学能力、增长数学智慧的重要途径.而习题是数学教科书的重要组织部分，是学习者掌握、运用所学知识的一个重要途径，是评价、诊断、完善学生数学认知水平的基本工具，是深化理解数学原理，提高思维水平的主要方式，习题一个极为重要的功能是学习者养成良好的数学思维习惯，形成
数学核心素养的主要形式.学生的数学经验和数学智慧、数学思维品质的形成都与习题系统有着密不可分的关系.习题一般包括问题系统和解决系统两个方面，所以习题质量直接影响数学教育的质量，需要做深入细致的解析.
二次函数是义务教育学习的重要内容，是初中数学教学的重难点.我国教材与新加坡教材都是以二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的应用为主线来编写的，各部分内容都设置了相应的例题和习题，本文基于思维品质主要研究二次函数习题方面的差异性.选取人教社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学》（以下简称《课标数学》）九年级上册第二十二章“二次函数”[1]，新加坡Prof Lee Peng Yee等主编的《New Syliabus Mathematics 》（以下简称《新数学》）《新数学2》中的第十章“二次函数图像”[2]中的习题（本文中习题含练习、课后习题和复习题）作为研究对象.
2二次函数习题题量与题型的比较
在中学数学教育期刊中，大多探讨的是关于习题、试题解决中的思维过程、解题策略、延伸拓展等，本文从思维品质的视角对“二次函数”习题的量与质进行反思、归纳和分析.
首先从数量上进行比较，由表1可知，大题数《课标数学》比《新数学》多16道，通常情况下《课标数学》中的习题是由练习、课后习题和复习题组成，而《新数学》在二次函数习题的设置中没有练习.对比两国教材中的习题，发现两国二次函数习题中都有大题内嵌套小题的特点，且每道大题下的小题个数为2、3、4不等，其中《新数学》中小题个数为2道、3道和4道的大题分别占到了所有习题数量的4333%，2667%和667%，《课标数学》中则分别是1739%，652%和1304%.由此可以看出，《新数学》虽然在大题数量上比《课标数学》少，但是其小题个数要比我国的多，且《新数学》中同一节内容大题大多数是应用同一个性质或方法的习题，属于同质问题.
3二次函数习题难度的比较
通过评价习题的难度，可以透视不同版本习题对思维程度的要求程度.曹一鸣和吴立宝建构的例习题难度的模型[4]是从要求水平（YQ）、知识点含量（ZS）、背景水平（BJ）三个维度来刻画，具体难度水平见表2.计算难度的公式是如下的（1）、（2）、（3）、（4）.
习题平均要求水平（YQ）的计算方法如下：
YQ=1·A 2·B 3·C 4·DA B C D，（1）
其中A（或B、或C、或D）为“模仿（或理解、或运用、或探究）”的习题数目；
习题知识点含量（ZS）的计算方法如下：
ZS=1·A 2·B 3·C 4·DA B C D，（2）
其中A（或B、或C、或D）为含1个（或2个、或3个、或3个以上）的习题数目；
习题背景水平（BJ）的計算方法如下：
BJ=1·A 2·B 3·C 4·DA B C D，（3）
其中A（或B、或C、或D）为“无背景（或个人生活背景、或公共常识背景、或科学背景）”的习题数目；
对于整部分习题的难度（N）计算，用如下公式：
N=α·YQ β·ZS γ·BJ，（4）
其中α、β、γ分别是要求水平、知识点含量和背景水平的权重，其值为038、036、026（α、β、γ分别是由层次分析法得出的）.
表2习题难度水平划分
难度（N）要求水平（YQ）模仿理解运用探究知识点含量（ZS）一个两个三个三个以上背景水平（BJ）无背景个人生活公共常识科学背景
通过表2及习题难度计算公式，对《新数学》教材和《课标数学》教材中二次函数的习题进行统计和计算，结果
4研究的结论及对思维品质培养的启示
4.1两国“二次函数”习题重视基础训练，着力于数学思维的基础性与严谨性培养
两国习题在题型和要求水平的分布情况大致相同，在题型的分配上呈现出相同的分配规律：训练性题>探索性题>问题性题>标准性题；在要求水平上，也呈现出相似的规律：模仿>理解>运用>探究.从中发现两本教材在二次函数在习题的编制上有重基础、促提高的特点，从题型上来看，两国训练性的题都占到了60%以上，旨在培养学生数学思维的基础性，通过习题让学生掌握数学基础知识，形成数学基本技能，而在要求水平上，两国模仿的习题题量最多，旨在通过模拟例题等帮助学生养成严谨求实的思维品质，进一步巩固基本概念、性质以及熟练作图等数学素养.
4.2两国“二次函数”习题体现分层设计，着力于数学思维的灵活性与广阔性的培养
在二次函数习题设计上，两国均体现了分层设计的理念，但我国课后习题编排更具层次性.例如，《新数学》的总复习最后加入了“问题解决”模块，且该模块的习题难度要比其他习题难度大；《课标数学》的课后习题和复习题中分为“复习巩固”、“综合运用”和“拓广探索”三个模块，且从习题难度上看，其呈现规律为：复习巩固>综合运用>拓广探索.“复习巩固”与新加坡的课后习题可以参照例题来解答，而新加坡的“问题解决”和我国的“综合运用”与“拓广探索”是在例题的基础上的进一步延伸和拓展，不再是模仿，需要更广阔的思维视野.分层设计的理念充分关注数学思维的灵活性与广阔性特质，有利于不同水平学生数学思维水平的提高. 4.3两国“二次函数”习题在抽象性与直观性知识上有差异，着力于数学思维直观性与逻辑性的培养
《新数学》中二次函数问题解决方面的习题是通过函数图像来直观解决的，以考查通过图像找对称轴以及给出一个点的横（纵）坐标来找它的纵（横）坐标为主.而《课标数学》综合应用与拓展探索习题注重学生运用性质解决问题，注重培养学生的抽象思维能力.如二次函数顶点式、一般式的性质、确定二次函数的表达式等是其在习题设计方面的亮点，充分体现了课标中对二次函数图像的要求[5]；由此可知，新加坡在二次函数习题的设置上直观性较强，我国抽象性要求更高，这种不同要求反映了不同的习题建构思路，但着力培养学生数学思维的直观性与逻辑性是习题建构的核心，通过直观可能训练学生敏锐的洞察力、联想力，通过抽象不断提升学生的逻辑思维思维能力.
4.4两国“二次函数”习题背景各有特点，着力于数学思维批判性与创新性的培养
习题背景一般分为无背景、个人生活、公共常识和科学背景四个方面，后三个背景是数学文化的部分体现.从中新两国二次函数习题的背景来看，两国70%以上的习题都属于无背景题目，即纯粹的数学题.除此之外，新加坡科学背景的题目占到了剩余习题的60%，这60%的科学背景都以物理科学为主，而我国以个人生活为背景的习题则占到了剩余习题的85%左右.这种不同背景的习题在训练学生基本素养的基础上，还强化学生数学思维的批判性与创新性，让学生在不同习题背景下深化对习题意境的理解，经历分析思维方式、评估思维方式和提高思维方式的阶段，立足于数学知识的学习与运用去创新.
5结语
习题在数学教材的地位不容质疑，如果有效的挖掘习題的内涵，以更好地培养学生的数学思维品质就是数学教育研究的主题之一.不同国别在二次函数习题的编排上各有特色，需要深入其内，从不同维度探析，才能有效、高效地利用于习题于学生数学思维品质的提升.我国在二次函数习题方面层次鲜明、指向明确，新加坡教材难度偏低、背景多元，需要相互借鉴，充分发挥习题在数学教育教学中的功能.
参考文献
[1]义务教育课程标准实验教科书数学九年级（上册）[M].北京：人民教育出版社.2005.
[2]Prof Lee Peng Yee.New Syliabus Mathematics 2[M].Singapore：Utopia Press Pte Ltd，2011.
[3]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社.1999.
[4]曹一鸣，吴立宝.初中数学教材难易程度的国际比较研究[J].数学教育学报，2015，24（4）：4.
[5]全日制义务教育数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社.2011.
【关键词】二次函数；习题；比较研究
1引言
数学教科书是展现数学思维过程的重要场所，是学生获得数学知识、提高数学能力、增长数学智慧的重要途径.而习题是数学教科书的重要组织部分，是学习者掌握、运用所学知识的一个重要途径，是评价、诊断、完善学生数学认知水平的基本工具，是深化理解数学原理，提高思维水平的主要方式，习题一个极为重要的功能是学习者养成良好的数学思维习惯，形成
数学核心素养的主要形式.学生的数学经验和数学智慧、数学思维品质的形成都与习题系统有着密不可分的关系.习题一般包括问题系统和解决系统两个方面，所以习题质量直接影响数学教育的质量，需要做深入细致的解析.
二次函数是义务教育学习的重要内容，是初中数学教学的重难点.我国教材与新加坡教材都是以二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的应用为主线来编写的，各部分内容都设置了相应的例题和习题，本文基于思维品质主要研究二次函数习题方面的差异性.选取人教社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学》（以下简称《课标数学》）九年级上册第二十二章“二次函数”[1]，新加坡Prof Lee Peng Yee等主编的《New Syliabus Mathematics 》（以下简称《新数学》）《新数学2》中的第十章“二次函数图像”[2]中的习题（本文中习题含练习、课后习题和复习题）作为研究对象.
2二次函数习题题量与题型的比较
在中学数学教育期刊中，大多探讨的是关于习题、试题解决中的思维过程、解题策略、延伸拓展等，本文从思维品质的视角对“二次函数”习题的量与质进行反思、归纳和分析.
首先从数量上进行比较，由表1可知，大题数《课标数学》比《新数学》多16道，通常情况下《课标数学》中的习题是由练习、课后习题和复习题组成，而《新数学》在二次函数习题的设置中没有练习.对比两国教材中的习题，发现两国二次函数习题中都有大题内嵌套小题的特点，且每道大题下的小题个数为2、3、4不等，其中《新数学》中小题个数为2道、3道和4道的大题分别占到了所有习题数量的4333%，2667%和667%，《课标数学》中则分别是1739%，652%和1304%.由此可以看出，《新数学》虽然在大题数量上比《课标数学》少，但是其小题个数要比我国的多，且《新数学》中同一节内容大题大多数是应用同一个性质或方法的习题，属于同质问题.
3二次函数习题难度的比较
通过评价习题的难度，可以透视不同版本习题对思维程度的要求程度.曹一鸣和吴立宝建构的例习题难度的模型[4]是从要求水平（YQ）、知识点含量（ZS）、背景水平（BJ）三个维度来刻画，具体难度水平见表2.计算难度的公式是如下的（1）、（2）、（3）、（4）.
习题平均要求水平（YQ）的计算方法如下：
YQ=1·A 2·B 3·C 4·DA B C D，（1）
其中A（或B、或C、或D）为“模仿（或理解、或运用、或探究）”的习题数目；
习题知识点含量（ZS）的计算方法如下：
ZS=1·A 2·B 3·C 4·DA B C D，（2）
其中A（或B、或C、或D）为含1个（或2个、或3个、或3个以上）的习题数目；
习题背景水平（BJ）的計算方法如下：
BJ=1·A 2·B 3·C 4·DA B C D，（3）
其中A（或B、或C、或D）为“无背景（或个人生活背景、或公共常识背景、或科学背景）”的习题数目；
对于整部分习题的难度（N）计算，用如下公式：
N=α·YQ β·ZS γ·BJ，（4）
其中α、β、γ分别是要求水平、知识点含量和背景水平的权重，其值为038、036、026（α、β、γ分别是由层次分析法得出的）.
表2习题难度水平划分
难度（N）要求水平（YQ）模仿理解运用探究知识点含量（ZS）一个两个三个三个以上背景水平（BJ）无背景个人生活公共常识科学背景
通过表2及习题难度计算公式，对《新数学》教材和《课标数学》教材中二次函数的习题进行统计和计算，结果
4研究的结论及对思维品质培养的启示
4.1两国“二次函数”习题重视基础训练，着力于数学思维的基础性与严谨性培养
两国习题在题型和要求水平的分布情况大致相同，在题型的分配上呈现出相同的分配规律：训练性题>探索性题>问题性题>标准性题；在要求水平上，也呈现出相似的规律：模仿>理解>运用>探究.从中发现两本教材在二次函数在习题的编制上有重基础、促提高的特点，从题型上来看，两国训练性的题都占到了60%以上，旨在培养学生数学思维的基础性，通过习题让学生掌握数学基础知识，形成数学基本技能，而在要求水平上，两国模仿的习题题量最多，旨在通过模拟例题等帮助学生养成严谨求实的思维品质，进一步巩固基本概念、性质以及熟练作图等数学素养.
4.2两国“二次函数”习题体现分层设计，着力于数学思维的灵活性与广阔性的培养
在二次函数习题设计上，两国均体现了分层设计的理念，但我国课后习题编排更具层次性.例如，《新数学》的总复习最后加入了“问题解决”模块，且该模块的习题难度要比其他习题难度大；《课标数学》的课后习题和复习题中分为“复习巩固”、“综合运用”和“拓广探索”三个模块，且从习题难度上看，其呈现规律为：复习巩固>综合运用>拓广探索.“复习巩固”与新加坡的课后习题可以参照例题来解答，而新加坡的“问题解决”和我国的“综合运用”与“拓广探索”是在例题的基础上的进一步延伸和拓展，不再是模仿，需要更广阔的思维视野.分层设计的理念充分关注数学思维的灵活性与广阔性特质，有利于不同水平学生数学思维水平的提高. 4.3两国“二次函数”习题在抽象性与直观性知识上有差异，着力于数学思维直观性与逻辑性的培养
《新数学》中二次函数问题解决方面的习题是通过函数图像来直观解决的，以考查通过图像找对称轴以及给出一个点的横（纵）坐标来找它的纵（横）坐标为主.而《课标数学》综合应用与拓展探索习题注重学生运用性质解决问题，注重培养学生的抽象思维能力.如二次函数顶点式、一般式的性质、确定二次函数的表达式等是其在习题设计方面的亮点，充分体现了课标中对二次函数图像的要求[5]；由此可知，新加坡在二次函数习题的设置上直观性较强，我国抽象性要求更高，这种不同要求反映了不同的习题建构思路，但着力培养学生数学思维的直观性与逻辑性是习题建构的核心，通过直观可能训练学生敏锐的洞察力、联想力，通过抽象不断提升学生的逻辑思维思维能力.
4.4两国“二次函数”习题背景各有特点，着力于数学思维批判性与创新性的培养
习题背景一般分为无背景、个人生活、公共常识和科学背景四个方面，后三个背景是数学文化的部分体现.从中新两国二次函数习题的背景来看，两国70%以上的习题都属于无背景题目，即纯粹的数学题.除此之外，新加坡科学背景的题目占到了剩余习题的60%，这60%的科学背景都以物理科学为主，而我国以个人生活为背景的习题则占到了剩余习题的85%左右.这种不同背景的习题在训练学生基本素养的基础上，还强化学生数学思维的批判性与创新性，让学生在不同习题背景下深化对习题意境的理解，经历分析思维方式、评估思维方式和提高思维方式的阶段，立足于数学知识的学习与运用去创新.
5结语
习题在数学教材的地位不容质疑，如果有效的挖掘习題的内涵，以更好地培养学生的数学思维品质就是数学教育研究的主题之一.不同国别在二次函数习题的编排上各有特色，需要深入其内，从不同维度探析，才能有效、高效地利用于习题于学生数学思维品质的提升.我国在二次函数习题方面层次鲜明、指向明确，新加坡教材难度偏低、背景多元，需要相互借鉴，充分发挥习题在数学教育教学中的功能.
参考文献
[1]义务教育课程标准实验教科书数学九年级（上册）[M].北京：人民教育出版社.2005.
[2]Prof Lee Peng Yee.New Syliabus Mathematics 2[M].Singapore：Utopia Press Pte Ltd，2011.
[3]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社.1999.
[4]曹一鸣，吴立宝.初中数学教材难易程度的国际比较研究[J].数学教育学报，2015，24（4）：4.
[5]全日制义务教育数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社.2011.