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摘要:
数学习题教学中,要注意问题情境的设置,及数学思想方法的应用,对习题进行探究与反思,培养学生思维的深刻性和敏捷性,提高学生的思维能力和创新能力。
数学来源于生活,应用于生活。对于学生来说,学习不仅意味着接受知识,而且还要利用知识技能去发现问题,分析问题,解决问题。数学知识是核心,思想方法是灵魂,。应用数学离不开数学解题,解题不仅能深化对知识及思想方法的理解和掌握,体现各部分知识之间的联系,能使学生学会独立思考,培养学生创新意识,使学生的创造能力得到发展。著名的未来学家伊萨克?阿西莫夫说过:“二十一世纪可能是创造的伟大时代,那时机器最终将取代人去完成所有的单调的任务,计算机将保障世界的运转,而人类则最终得以自由的去做非他莫属的事情——创造。”从某种意义上说,人类社会的发展进步,取决于人创造能力。本文结合自己的教学实践,对新课标下的习题教学谈几点看法:
一、注意问题情境的设置,激发学生的探究意识。
数学解题的思维活动始于问题的情境,学生从问题的情境中摄取信息,从未知状态一步步走向目标状态。因此教师在进行习题教学中,要注意设置问题的情境,营造问题解决的氛围,对问题学生身临其“境”,对新问题产生敏感,激发学生的思维,进尽快的进入解决问题的状态。问题应有挑战性、开放性,问题的解决应有多样性。
例如:一道直线方程例题条件的探究:
过点P(1,2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程。
将其改为:过点P(1,2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, ,求直线l的方程。(在横线上补上适当的条件,使直线l的方程可以确定)
此问题一出“一石激起千层浪”学生回答有:①直线l的斜率为-1、②直线的倾斜角为120°、③原点到直线l的距离最小、④原点O到直线l的距离为、⑤△AOB的周长最小、⑥|PA|·|PB|最小等。
通过上述的问题情境的创设,引起学生的积极思考。整个过程,不仅提高了学生的参与探究的意识,同时也使学生加深了对问题的深刻理解,培养学生发现问题,探索问题及解决问题的能力。
二、注意问题的转化,提高学生的思维能力
解数学题最根本的途径是“化难为易,化繁为简,化未知为已知”,也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段,逐渐将它转变为一个大家熟知的简单的数学形式,然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。习题教学中,转化与化归是关键的一步,问题的转换是沟通已知与未知的桥梁,注意转换就是让学生自觉分析问题已知与未知条件,深刻理解题意,用自己所掌握的知识及数学思想方法寻求问题解决的途径,提高学生观察问题、解决问的能力。
例如:求函数
的最大值
函数=
,下面与学生一起探索有如下一些解法:
提示1:(换元法令
,则a2+b2=3,转化为在(a,b)约束条件下的最优解的问题,用数形结合的知识得以解决。也可以通过三角换元法,令,进行求解。
提示2:(方程的思想),对
移项的=,
两边平方得,令 ,整理的关于t的一元二次方程4t2-2yt+y2-9=0,由,可得y≤
提示3:(向量法)设向量,向量,有向量的数量积知 由数形结合的方法,根据的坐标得出θ的大小,从而求出cosθ最大值,得出y≤。
提示4:本题也可用复合函数求导法,或将 看成等差数列,设 ,消去x的4d2-2yd+y2-9=0,
有△≥0得y≤ 。
本题虽然形式简单,属于基础题,既考查了基础知识、基本技能,又可以引导学生探究,把函数、导数、方程、向量、三角、解析几何、数列等知识有效运用起来,提炼出形如
一类问题的处理方式,的多题一解的解题模式,从中学生可以体会到转换的重要性,也提高了学生思维的深刻性和敏捷性。
三、注意类比联想,鼓励并引导学生大胆猜想
在习题教学中,要鼓励并引导学生大胆猜想,培养学生的探索与创造能力,联想是由一个事物想到与其关联的另一个事物的心理过程,按亚里斯多德的分法可分为形似联想、关系联想、类比联想。其行为模式为:类比——联想——预测(猜想)。
例如:(1)、我们知道,在平面中,周长一定的矩形中,以正方形的面积最大。引导学生可以联想:在空间中,表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大。
(2)、如图:在△PAB中,任一直线截△PAB的边PA、PB与A1、B1点,则有。
提出问题:在三棱锥P-ABC中,任一平面截三棱锥p-ABC的三条棱PA、PB、PC于A1、B1、C1点,有成立吗?
(3)、若a、b>0,有成立,当且仅当a=b时,等号成立。
那么,若a、b、c>0,有成立吗?等号成立的的条件是什么?若a1、a2、a3……an均为正数,那么有吗?等号成立的条件又是什么?
培养学生的探索与联想的意识,提高学生的创新的能力,鼓励学生对解过的习题作大胆的猜想及反思联想。能收到很好的效果。
四、注意解题后的反思、归纳、总结
古人言:学而不思则罔,思而不学则殆。解题后要学会反思,反思是提高解题能力的有效方法。反思计算的准确性,方法的优劣,所用到的知识,题目的难点所在,用那些数学思想方法,能否推广到某一类型题目的解法等。
例如:已知函数f(x)=x3-x,(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程。(2)设a>0,如果过点(a,b)可作函数y=f(x)三条切线,证明:-a 解:(1)
切线方程为 ,即
。
(2)因为,切线过点(a,b), ,即关于t的一元三次方程2t3-3at+a+b=0有三个不同的实数根,令g(t)=2t3-3at+a+b,则函数g(t)的图象与坐标横轴有三个不同的交点,,令,则t=0或t=a,当t>a或t<0时, ,当0 此题综合性较强,难度较大,第一问同学们能很容易解决。第二问同学们做起来较为困难,对过点(a,b)有三条切线,转化为g(t)=0有三个实数根,即函数g(t)图象与横坐标轴有三个不同的交点,由数形结合得以解决。体现了转化与化归、数形结合的数学思想方法的应用,通过反思,使学生在剖析暴露题目的思维过程、思想模式、思维层次的过程中,激活自身的潜力,帮助学生构造适当的思维模式,从而丰富思维经验,提高思维能力。
总之,教师要在题目的选取上下功夫,通过习题的教学,激发学生学习数学的兴趣与热情,培养学生思维的敏捷性、深刻性,拓展学生思维的创造力。
参考资料:中学数学教学参考 2008、11
中学数学教学参考 2010、1、2
数学习题教学中,要注意问题情境的设置,及数学思想方法的应用,对习题进行探究与反思,培养学生思维的深刻性和敏捷性,提高学生的思维能力和创新能力。
数学来源于生活,应用于生活。对于学生来说,学习不仅意味着接受知识,而且还要利用知识技能去发现问题,分析问题,解决问题。数学知识是核心,思想方法是灵魂,。应用数学离不开数学解题,解题不仅能深化对知识及思想方法的理解和掌握,体现各部分知识之间的联系,能使学生学会独立思考,培养学生创新意识,使学生的创造能力得到发展。著名的未来学家伊萨克?阿西莫夫说过:“二十一世纪可能是创造的伟大时代,那时机器最终将取代人去完成所有的单调的任务,计算机将保障世界的运转,而人类则最终得以自由的去做非他莫属的事情——创造。”从某种意义上说,人类社会的发展进步,取决于人创造能力。本文结合自己的教学实践,对新课标下的习题教学谈几点看法:
一、注意问题情境的设置,激发学生的探究意识。
数学解题的思维活动始于问题的情境,学生从问题的情境中摄取信息,从未知状态一步步走向目标状态。因此教师在进行习题教学中,要注意设置问题的情境,营造问题解决的氛围,对问题学生身临其“境”,对新问题产生敏感,激发学生的思维,进尽快的进入解决问题的状态。问题应有挑战性、开放性,问题的解决应有多样性。
例如:一道直线方程例题条件的探究:
过点P(1,2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程。
将其改为:过点P(1,2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, ,求直线l的方程。(在横线上补上适当的条件,使直线l的方程可以确定)
此问题一出“一石激起千层浪”学生回答有:①直线l的斜率为-1、②直线的倾斜角为120°、③原点到直线l的距离最小、④原点O到直线l的距离为、⑤△AOB的周长最小、⑥|PA|·|PB|最小等。
通过上述的问题情境的创设,引起学生的积极思考。整个过程,不仅提高了学生的参与探究的意识,同时也使学生加深了对问题的深刻理解,培养学生发现问题,探索问题及解决问题的能力。
二、注意问题的转化,提高学生的思维能力
解数学题最根本的途径是“化难为易,化繁为简,化未知为已知”,也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段,逐渐将它转变为一个大家熟知的简单的数学形式,然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。习题教学中,转化与化归是关键的一步,问题的转换是沟通已知与未知的桥梁,注意转换就是让学生自觉分析问题已知与未知条件,深刻理解题意,用自己所掌握的知识及数学思想方法寻求问题解决的途径,提高学生观察问题、解决问的能力。
例如:求函数
的最大值
函数=
,下面与学生一起探索有如下一些解法:
提示1:(换元法令
,则a2+b2=3,转化为在(a,b)约束条件下的最优解的问题,用数形结合的知识得以解决。也可以通过三角换元法,令,进行求解。
提示2:(方程的思想),对
移项的=,
两边平方得,令 ,整理的关于t的一元二次方程4t2-2yt+y2-9=0,由,可得y≤
提示3:(向量法)设向量,向量,有向量的数量积知 由数形结合的方法,根据的坐标得出θ的大小,从而求出cosθ最大值,得出y≤。
提示4:本题也可用复合函数求导法,或将 看成等差数列,设 ,消去x的4d2-2yd+y2-9=0,
有△≥0得y≤ 。
本题虽然形式简单,属于基础题,既考查了基础知识、基本技能,又可以引导学生探究,把函数、导数、方程、向量、三角、解析几何、数列等知识有效运用起来,提炼出形如
一类问题的处理方式,的多题一解的解题模式,从中学生可以体会到转换的重要性,也提高了学生思维的深刻性和敏捷性。
三、注意类比联想,鼓励并引导学生大胆猜想
在习题教学中,要鼓励并引导学生大胆猜想,培养学生的探索与创造能力,联想是由一个事物想到与其关联的另一个事物的心理过程,按亚里斯多德的分法可分为形似联想、关系联想、类比联想。其行为模式为:类比——联想——预测(猜想)。
例如:(1)、我们知道,在平面中,周长一定的矩形中,以正方形的面积最大。引导学生可以联想:在空间中,表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大。
(2)、如图:在△PAB中,任一直线截△PAB的边PA、PB与A1、B1点,则有。
提出问题:在三棱锥P-ABC中,任一平面截三棱锥p-ABC的三条棱PA、PB、PC于A1、B1、C1点,有成立吗?
(3)、若a、b>0,有成立,当且仅当a=b时,等号成立。
那么,若a、b、c>0,有成立吗?等号成立的的条件是什么?若a1、a2、a3……an均为正数,那么有吗?等号成立的条件又是什么?
培养学生的探索与联想的意识,提高学生的创新的能力,鼓励学生对解过的习题作大胆的猜想及反思联想。能收到很好的效果。
四、注意解题后的反思、归纳、总结
古人言:学而不思则罔,思而不学则殆。解题后要学会反思,反思是提高解题能力的有效方法。反思计算的准确性,方法的优劣,所用到的知识,题目的难点所在,用那些数学思想方法,能否推广到某一类型题目的解法等。
例如:已知函数f(x)=x3-x,(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程。(2)设a>0,如果过点(a,b)可作函数y=f(x)三条切线,证明:-a
切线方程为 ,即
。
(2)因为,切线过点(a,b), ,即关于t的一元三次方程2t3-3at+a+b=0有三个不同的实数根,令g(t)=2t3-3at+a+b,则函数g(t)的图象与坐标横轴有三个不同的交点,,令,则t=0或t=a,当t>a或t<0时, ,当0
总之,教师要在题目的选取上下功夫,通过习题的教学,激发学生学习数学的兴趣与热情,培养学生思维的敏捷性、深刻性,拓展学生思维的创造力。
参考资料:中学数学教学参考 2008、11
中学数学教学参考 2010、1、2