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摘要：肇始于哈佛大学的案例教学法，经由哈佛商学院的推广，已在全球范围的各个领域应用100多年，成绩斐然。《工程数学》是军队院校本科学员的一门数学公共基础课程，由于理论性强、内容枯燥、知识点繁琐，一直不怎么受学员喜欢，学习效果自然也不怎么好。在习主席提出的改革强军战略下，如何使军队院校文化基础理论课程的学习满足学员的任职需求，如何能够激发学员，提高《工程数学》课程教学质量，这是几乎所有任课老师都一直在思考的问题。数学课程中的教师常用的教学方法很多，启发式教学法、传统的讲授式教学法、讨论式教学法、练习式等。作为数学基础文化课程，传统式教学法是比较常用的，但存在很多不足。由于案例式教学法需要学员把自己融入案例情景中，很容易激发学员主动学习的欲望和兴趣，受到越来越多老师的青睐，但案例式教学法由于要求比较高，在数学课程的教学中实施起来有一定的难度。基于此，本文主要分析案例式教学法在《工程数学》中的应用。希望能够为以后的案例式教学提供一些帮助。
关键词：案例式教学法；军队院校；工程数学
一、引言
案例教学法起源于“哈佛大学”的情景案例教学课，之后迅速成为一种在全球范围内公认的行之有效的培训方式和教学方式。案例教学是一种通过模拟或者重现现实工作中的一些场景，让学生把自己纳入案例场景，在教学中通过学生运用已有的知识经验来分析、判断并解决现实工作情境中发生的事件和问题（基于案例提供的背景、事实描述、事件和观点），从中抽象出某些一般性的数学结论或数学原理，也可以让学生通过自己的思考或者他人的思考来拓宽自己的视野，从而促进学生进行知识技能迁移，提高他们解决实际问题的能力。
相对单纯讲解理论知识的传统数学，案例式教学法的最大优势在于以案例为基本素材，将学生引入一个特定的真是情境中，通过师生、生生之间的共同研讨，深入剖析，激发学生的积极性和创造性，培养学生的批判反思意识及分析问题和解决问题的能力，最终帮助学生将理论知识转化为实践能力。案例式教学可以促进隐形知识与显性知识的不断转化，通过具体的情境，将隐性的知识外显，或将显性的知识内化。
二、案例式教学法在《工程数学》课程教学中的重要意义
1.有利于提高学生学习兴趣，培养学生的自主学习能力和习惯。
2.有利于提高教学质量，加强理论与实践的联系。
3.有利于增进学生之间的感情。
4.有利于实现教学评价形式的多元化。
三、案例式教学法在军队院校《工程数学》课程教学中的应用
（一）军队院校《工程数学》课程教学的特点
《工程数学》是军队院校的一门公共必修课程，以武警警官学院为例，每年涉及近2000名学生的培养，主要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、几何直观和空间想象能力、熟练的运算能力、初步的数学建模和数值计算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力等。它不仅为学生学习后续课程和解决实际问题提供了必不可少的数学基础知识和数学思想与方法，而且也可为学生任职后进一步深造打好基础。由于军队院校的特殊性，其人才培养目标、教学手段等方面与地方普通高校存在着较大的差别。所以，《工程数学》课程教学也有着自身特点。
1.课程方面：课时安排较少，相比之下，内容较多，在知识点的安排上特别紧凑，经常存在赶进度的情况。
2.学生方面：军队院校的学生除了进行正常的文化课程学习之外，还必须完成军事体能训练、执勤等提前安排好的任务。统一管理，不能自由行动等特点限制了学生对点滴时间的利用。同时，也影响课堂上的发挥和表现。学生主动学习的欲望不强，积极性不高，所以就导致课程教学效果大打折扣，如何有效激励学生自主学习的积极性，这是一个不容忽视的问题。
（二）案例式教学法的准备工作
1.教学案例的选择与准备。《工程数学》课程作为一门基础学科，在军事密码学、经济模型、图论等领域有着广泛的应用。因此，在教学过程中，有目的地引入案例进行教学，有助于提高学生的学习兴趣，加深他们对基础知识的理解。
2.理论学习和案例引入。为了激发学生对矩阵运算，尤其是矩阵乘法和逆运算的学习兴趣，我们特意引入案例——军事信息的伪装。在这个军事信息的伪装案例中，发送指令的指挥部情报人员就是将军事信息数据化，结合Hill密码的加密规则，利用矩阵的运算对所发送信息进行加密和解密。当然，这些问题的讨论和解决完全交给学生来做。主要问题有以下几个：（1）发送出去的密文是什么？（2）执行任务的人员如何获取真正的指令？（3）如果该指令Action要发给位于不同位置的多个任务执行人员，基于信息的保密安全考虑，你作为指挥部的情报人员，该如何做？（4）如果指挥部的情报人员想式信息从发送到接收，整个过程的安全系数再高一点，也就是对保密工作的要求再严一些时，你还可以利用哪些措施？并论证措施的可行性。
3.小组讨论。每个小组可以随意选择自己的加密工具，即秘钥矩阵S，通过矩阵乘法SQ的运算，得到明文矩阵。如果不同组选择的加密矩阵不同，则发送出去的密文有可能不同，甚至有可能行不通。但问题也随之而来，能够作为加密矩阵的矩阵需要满足什么条件？又在什么情况下任务执行人员可以通过加密运算的逆运算，得到明文矩阵？这些问题得到解决的基础上，怎么样能够提高安全级别呢？
4.集中讨论。通过小组讨论，我们发现个别小组存在的问题：
有些组选择一个三阶加密矩阵 ，得到发送出去的密文矩阵为SQ=T，其中 。同时，任务执行人员也是知道这
个加密矩阵的，他能不能用加密运算的逆运算得到自己想要的额明文矩阵，还要看该组选择的加密矩阵S，如果S可逆，即 ，就可以从密文矩阵中解得Q。有的组选择3×4或4×4的加密矩阵，显然这是不恰当的，因为所选择的加密矩阵不能直接与Q进行我们所学的任何运算。还有的组选择的是4×3的加密矩阵，加密可以，人工解密就比较困难，可以利用待定系数法，不过涉及的计算量比较大。但在理论上是可行的。对于第三个问题，如果要发给不同的任务执行人员，为了信息的安全性，可以选择不同的加密矩阵进行加密，发给相应的任务执行人员。选择加密的矩阵如果要能够让执行人员很快解出明文矩阵，显然，选择不同的三阶可逆方阵即可。而对最后一个问题，大家各抒己见，相当一部分人认为可以尝试用比较复杂的矩阵作为加密矩阵，例如4×3、10×3等，理论上来讲，加密矩阵越复杂，得到的密文矩阵也就越复杂。关键是想要快速得到Q，通过矩阵的逆运算显然是不行的，就必须要借助于計算机。最后让大家思考还有什么加密方式我们可以用。对大家的表现要做详细的总结，优点和不足都要一一指出来，以此激励大家参与讨论的积极性。
参考文献：
[1]刘春林，李宝娣. 线性代数与案例教学的体会与思考[J]. 湖南理工学院学报（自然科学版），2016年第29卷第2期.
[2]裘哲勇，胡鸿翔. 高等数学课程的改革与实践. 以杭州电子科技大学为例[J]. 西部素质教育2016年第2卷第12期.
[3]赵军产，赵艳. 线性代数课中案例式教学的应用[J]. 河南教育教学新思维，2016年第2卷第7期.
[4]吴海燕. 线性代数课程中采取案例式教学研究[J]. 高师理科学刊，2014年第3期.
关键词：案例式教学法；军队院校；工程数学
一、引言
案例教学法起源于“哈佛大学”的情景案例教学课，之后迅速成为一种在全球范围内公认的行之有效的培训方式和教学方式。案例教学是一种通过模拟或者重现现实工作中的一些场景，让学生把自己纳入案例场景，在教学中通过学生运用已有的知识经验来分析、判断并解决现实工作情境中发生的事件和问题（基于案例提供的背景、事实描述、事件和观点），从中抽象出某些一般性的数学结论或数学原理，也可以让学生通过自己的思考或者他人的思考来拓宽自己的视野，从而促进学生进行知识技能迁移，提高他们解决实际问题的能力。
相对单纯讲解理论知识的传统数学，案例式教学法的最大优势在于以案例为基本素材，将学生引入一个特定的真是情境中，通过师生、生生之间的共同研讨，深入剖析，激发学生的积极性和创造性，培养学生的批判反思意识及分析问题和解决问题的能力，最终帮助学生将理论知识转化为实践能力。案例式教学可以促进隐形知识与显性知识的不断转化，通过具体的情境，将隐性的知识外显，或将显性的知识内化。
二、案例式教学法在《工程数学》课程教学中的重要意义
1.有利于提高学生学习兴趣，培养学生的自主学习能力和习惯。
2.有利于提高教学质量，加强理论与实践的联系。
3.有利于增进学生之间的感情。
4.有利于实现教学评价形式的多元化。
三、案例式教学法在军队院校《工程数学》课程教学中的应用
（一）军队院校《工程数学》课程教学的特点
《工程数学》是军队院校的一门公共必修课程，以武警警官学院为例，每年涉及近2000名学生的培养，主要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、几何直观和空间想象能力、熟练的运算能力、初步的数学建模和数值计算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力等。它不仅为学生学习后续课程和解决实际问题提供了必不可少的数学基础知识和数学思想与方法，而且也可为学生任职后进一步深造打好基础。由于军队院校的特殊性，其人才培养目标、教学手段等方面与地方普通高校存在着较大的差别。所以，《工程数学》课程教学也有着自身特点。
1.课程方面：课时安排较少，相比之下，内容较多，在知识点的安排上特别紧凑，经常存在赶进度的情况。
2.学生方面：军队院校的学生除了进行正常的文化课程学习之外，还必须完成军事体能训练、执勤等提前安排好的任务。统一管理，不能自由行动等特点限制了学生对点滴时间的利用。同时，也影响课堂上的发挥和表现。学生主动学习的欲望不强，积极性不高，所以就导致课程教学效果大打折扣，如何有效激励学生自主学习的积极性，这是一个不容忽视的问题。
（二）案例式教学法的准备工作
1.教学案例的选择与准备。《工程数学》课程作为一门基础学科，在军事密码学、经济模型、图论等领域有着广泛的应用。因此，在教学过程中，有目的地引入案例进行教学，有助于提高学生的学习兴趣，加深他们对基础知识的理解。
2.理论学习和案例引入。为了激发学生对矩阵运算，尤其是矩阵乘法和逆运算的学习兴趣，我们特意引入案例——军事信息的伪装。在这个军事信息的伪装案例中，发送指令的指挥部情报人员就是将军事信息数据化，结合Hill密码的加密规则，利用矩阵的运算对所发送信息进行加密和解密。当然，这些问题的讨论和解决完全交给学生来做。主要问题有以下几个：（1）发送出去的密文是什么？（2）执行任务的人员如何获取真正的指令？（3）如果该指令Action要发给位于不同位置的多个任务执行人员，基于信息的保密安全考虑，你作为指挥部的情报人员，该如何做？（4）如果指挥部的情报人员想式信息从发送到接收，整个过程的安全系数再高一点，也就是对保密工作的要求再严一些时，你还可以利用哪些措施？并论证措施的可行性。
3.小组讨论。每个小组可以随意选择自己的加密工具，即秘钥矩阵S，通过矩阵乘法SQ的运算，得到明文矩阵。如果不同组选择的加密矩阵不同，则发送出去的密文有可能不同，甚至有可能行不通。但问题也随之而来，能够作为加密矩阵的矩阵需要满足什么条件？又在什么情况下任务执行人员可以通过加密运算的逆运算，得到明文矩阵？这些问题得到解决的基础上，怎么样能够提高安全级别呢？
4.集中讨论。通过小组讨论，我们发现个别小组存在的问题：
有些组选择一个三阶加密矩阵 ，得到发送出去的密文矩阵为SQ=T，其中 。同时，任务执行人员也是知道这
个加密矩阵的，他能不能用加密运算的逆运算得到自己想要的额明文矩阵，还要看该组选择的加密矩阵S，如果S可逆，即 ，就可以从密文矩阵中解得Q。有的组选择3×4或4×4的加密矩阵，显然这是不恰当的，因为所选择的加密矩阵不能直接与Q进行我们所学的任何运算。还有的组选择的是4×3的加密矩阵，加密可以，人工解密就比较困难，可以利用待定系数法，不过涉及的计算量比较大。但在理论上是可行的。对于第三个问题，如果要发给不同的任务执行人员，为了信息的安全性，可以选择不同的加密矩阵进行加密，发给相应的任务执行人员。选择加密的矩阵如果要能够让执行人员很快解出明文矩阵，显然，选择不同的三阶可逆方阵即可。而对最后一个问题，大家各抒己见，相当一部分人认为可以尝试用比较复杂的矩阵作为加密矩阵，例如4×3、10×3等，理论上来讲，加密矩阵越复杂，得到的密文矩阵也就越复杂。关键是想要快速得到Q，通过矩阵的逆运算显然是不行的，就必须要借助于計算机。最后让大家思考还有什么加密方式我们可以用。对大家的表现要做详细的总结，优点和不足都要一一指出来，以此激励大家参与讨论的积极性。
参考文献：
[1]刘春林，李宝娣. 线性代数与案例教学的体会与思考[J]. 湖南理工学院学报（自然科学版），2016年第29卷第2期.
[2]裘哲勇，胡鸿翔. 高等数学课程的改革与实践. 以杭州电子科技大学为例[J]. 西部素质教育2016年第2卷第12期.
[3]赵军产，赵艳. 线性代数课中案例式教学的应用[J]. 河南教育教学新思维，2016年第2卷第7期.
[4]吴海燕. 线性代数课程中采取案例式教学研究[J]. 高师理科学刊，2014年第3期.