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【摘 要】 理解数学概念是开展数学教学的基础，教学概念能够反映出数学知识当中包含的重要内容。但由于应试教育的需要及课程安排所受到的限制，让数学概念教学无法在数学教学当中完全落实。本文对APOS理论的概念及其优势展开研究，并分析其在高中数学教学当中的实际应用。
【关键词】 APOS 高中教学 概念教学
引言：高中阶段的数学教学内容相较于初中更加注重对数学概念的讲解，概念教学是高中教学当中的重要环节，但对于高中数学教师来说，概念教学方面一直存在着问题。APOS理论能够为学生提供新的概念感知方法，帮助学生形成对概念的更好认知，同时也为数学教师的概念教学提供了帮助。
一、APOS理论的概念
APOS理论是由美国的杜宾斯基等人所创立的理论模型，这种理论不同于传统的教学理论，APOS理论可以简单理解为操作、过程、对象和图示四个阶段。这四个阶段，是数学教师对学生接受知识能力的培养过程，不仅能够提高学生的学习效率，还能够为学生的后续数学学习打好基础。APOS理论被引入到我国的数学教育界， 是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论.与传统的数学概念教学相比较，APOS理论教学更能体现“学生主体，教师主导”的建构主义理念， 更符合学生的认知特点， 揭示了数学概念的学习是循序渐进的建构过程， 应值得重视和深究。
二、APOS理论在高中数学中的应用
在概念的引入阶段，要充分考虑到学生的学情，针对学生实际的学习情况设置有意义的问题情境.通过创设活动，激发学习兴趣，开始问题探究，让学生感知概念产生的背景，感受数学与生活密切相关.根据教学内容灵活选择不同的概念引入方式，设计出有吸引力和针对性的引入问题，由简至难，逐层递进，了解概念的来龙去脉。
以下，以人教版的高中教材中的等差数列为例，选取当中的题型运用APOS的理论进行分析。
首先需要进行第一阶段——活动阶段（Action），引入情境，激发出学生的学习兴趣。
情境1：数字接龙游戏，教师首先提供出一个数字，如数字7，由任意一名学生从7开始叫出数字，每当出现这个数的倍数时，需要用拍手来代替。
情境2：队列按照每排2人、4人、6人、8人的顺序排列，最后一排有100人，求队列的全部人数。
设置好情境后进入第二阶段——过程阶段（Process），探究题目当中的规律，并形成数学概念。
教师要求学生掌握以上两种情境当中的规律并列出相应的算式。
∵{an}是等差数列
∴an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d…a2-a1=d
将得出的算式两边进行相加能够得出an-a1=（n-1）d，也就是an=a1+（n-1）d，因此能够得出，已知首项a1和公差d，就能够求出相对应的通项公式。
再进行第三阶段——对象阶段（Object），此时需要巩固学生的数学概念，提升学生的数学解题能力。
最后进行第四阶段——图示阶段（Scheme），此时是对过程进行归纳总结，并且构建出图式。
教师可以对学生提出相关的问题，让学生在解题过程当中进行归纳总结。
如问题1：证明一个数列是等差数列有哪几种方法？
[归纳总结] （1） 定义法：an-an-1=d （常数） ， 其中n≥2且n∈N*; （2） 等差中項法：2an=an-1+an+1， 其中n≥2且n∈N*。
问题2：等差数列的通项公式是否还可以变形？
[归纳总结]任取m， k∈N*， 由等差数列{an}， 得am=a1+ （m-1）d， ak=a1+ （k-1）d， 两式等号两边相减， 可得am-ak= （m-k）d， 则am=ak+ （m-k）d。
通过以上四个阶段的教学，让学生在过程中逐步深入探究，由浅入深的了解等差数列当中的规律所在，并且不再是简单地掌握解题方式，而是能够学会变通并且将其合理运用到日后的解题当中去。
三、APOS理论对学生的影响
APOS理论能够激发出学生对于学习数学概念的积极性，让学生学会独立解题，并在过程当中摸索到适合自己的解题方案。学生的好奇心会促使其向着未知不断探索，因此，学生会对刚接触的知识表现出求知欲。通过APOS理论的引导，学生能够发挥出自身的创造能力，对接触到的数学问题能够进行举一反三的发散思考，这也是对自身的逻辑思维的锻炼，从而提高了学生接受新知识的能力。
结论：通过对上文当中提到的APOS理论的优势及实际应用进行分析，能够了解到其真正的作用，并且对APOS理论有了一个简单的认识。将APOS理论应用到我国的高中数学教学当中去，能够促使学生更好地掌握数学概念，让学生逐步形成对数学概念的具体认知。另外，数学教师在应用APOS概念进行教学时，需要考虑到学生本身的认知规律，合理的设计教学环节，从而最大限度挖掘出学生的数学潜能，激发出学生的学习积极性，并发挥出APOS理论的实际作用。
参考文献
[1] 濮安山，丁嘉雯.基于APOS理论的高中数学概念教学案例设计——以“任意角”的概念教学为例[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（02）：19-21.
[2] 吴湘芸.APOS理论在高中数学概念教学中的应用[J].高中数学，2019（24）：39-41.
[3] 陈一梅.基于APOS理论下的高中数学概念教学——以“等差数列”的概念教学为例[J].文理导航（中旬），2018（03）：5+7.
本文系福建省“十三五”第二批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题《基于APOS理论下的高中数学概念教学研究》（立项批准号：DTRSX2019027）阶段性成果。
【关键词】 APOS 高中教学 概念教学
引言：高中阶段的数学教学内容相较于初中更加注重对数学概念的讲解，概念教学是高中教学当中的重要环节，但对于高中数学教师来说，概念教学方面一直存在着问题。APOS理论能够为学生提供新的概念感知方法，帮助学生形成对概念的更好认知，同时也为数学教师的概念教学提供了帮助。
一、APOS理论的概念
APOS理论是由美国的杜宾斯基等人所创立的理论模型，这种理论不同于传统的教学理论，APOS理论可以简单理解为操作、过程、对象和图示四个阶段。这四个阶段，是数学教师对学生接受知识能力的培养过程，不仅能够提高学生的学习效率，还能够为学生的后续数学学习打好基础。APOS理论被引入到我国的数学教育界， 是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论.与传统的数学概念教学相比较，APOS理论教学更能体现“学生主体，教师主导”的建构主义理念， 更符合学生的认知特点， 揭示了数学概念的学习是循序渐进的建构过程， 应值得重视和深究。
二、APOS理论在高中数学中的应用
在概念的引入阶段，要充分考虑到学生的学情，针对学生实际的学习情况设置有意义的问题情境.通过创设活动，激发学习兴趣，开始问题探究，让学生感知概念产生的背景，感受数学与生活密切相关.根据教学内容灵活选择不同的概念引入方式，设计出有吸引力和针对性的引入问题，由简至难，逐层递进，了解概念的来龙去脉。
以下，以人教版的高中教材中的等差数列为例，选取当中的题型运用APOS的理论进行分析。
首先需要进行第一阶段——活动阶段（Action），引入情境，激发出学生的学习兴趣。
情境1：数字接龙游戏，教师首先提供出一个数字，如数字7，由任意一名学生从7开始叫出数字，每当出现这个数的倍数时，需要用拍手来代替。
情境2：队列按照每排2人、4人、6人、8人的顺序排列，最后一排有100人，求队列的全部人数。
设置好情境后进入第二阶段——过程阶段（Process），探究题目当中的规律，并形成数学概念。
教师要求学生掌握以上两种情境当中的规律并列出相应的算式。
∵{an}是等差数列
∴an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d…a2-a1=d
将得出的算式两边进行相加能够得出an-a1=（n-1）d，也就是an=a1+（n-1）d，因此能够得出，已知首项a1和公差d，就能够求出相对应的通项公式。
再进行第三阶段——对象阶段（Object），此时需要巩固学生的数学概念，提升学生的数学解题能力。
最后进行第四阶段——图示阶段（Scheme），此时是对过程进行归纳总结，并且构建出图式。
教师可以对学生提出相关的问题，让学生在解题过程当中进行归纳总结。
如问题1：证明一个数列是等差数列有哪几种方法？
[归纳总结] （1） 定义法：an-an-1=d （常数） ， 其中n≥2且n∈N*; （2） 等差中項法：2an=an-1+an+1， 其中n≥2且n∈N*。
问题2：等差数列的通项公式是否还可以变形？
[归纳总结]任取m， k∈N*， 由等差数列{an}， 得am=a1+ （m-1）d， ak=a1+ （k-1）d， 两式等号两边相减， 可得am-ak= （m-k）d， 则am=ak+ （m-k）d。
通过以上四个阶段的教学，让学生在过程中逐步深入探究，由浅入深的了解等差数列当中的规律所在，并且不再是简单地掌握解题方式，而是能够学会变通并且将其合理运用到日后的解题当中去。
三、APOS理论对学生的影响
APOS理论能够激发出学生对于学习数学概念的积极性，让学生学会独立解题，并在过程当中摸索到适合自己的解题方案。学生的好奇心会促使其向着未知不断探索，因此，学生会对刚接触的知识表现出求知欲。通过APOS理论的引导，学生能够发挥出自身的创造能力，对接触到的数学问题能够进行举一反三的发散思考，这也是对自身的逻辑思维的锻炼，从而提高了学生接受新知识的能力。
结论：通过对上文当中提到的APOS理论的优势及实际应用进行分析，能够了解到其真正的作用，并且对APOS理论有了一个简单的认识。将APOS理论应用到我国的高中数学教学当中去，能够促使学生更好地掌握数学概念，让学生逐步形成对数学概念的具体认知。另外，数学教师在应用APOS概念进行教学时，需要考虑到学生本身的认知规律，合理的设计教学环节，从而最大限度挖掘出学生的数学潜能，激发出学生的学习积极性，并发挥出APOS理论的实际作用。
参考文献
[1] 濮安山，丁嘉雯.基于APOS理论的高中数学概念教学案例设计——以“任意角”的概念教学为例[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（02）：19-21.
[2] 吴湘芸.APOS理论在高中数学概念教学中的应用[J].高中数学，2019（24）：39-41.
[3] 陈一梅.基于APOS理论下的高中数学概念教学——以“等差数列”的概念教学为例[J].文理导航（中旬），2018（03）：5+7.
本文系福建省“十三五”第二批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题《基于APOS理论下的高中数学概念教学研究》（立项批准号：DTRSX2019027）阶段性成果。