本文研究了三个相对独立的问题,即由量纲函数诱导的测度与通常的分形测度间的比较,数的β展式周期的确定以及用一种新的复杂度给出的高维周期词的刻画。它们分别是分形几何,数论和组合领域的很有意义的问题。在第一章,我们分别给出三个问题的背景,意义以及相关领域研究的概况。同时介绍了问题是如何引入的。在第二章,我们讨论量纲函数诱导的测度与通常的分形测度间的关系。我们得到如下的结论:当量纲函数和幂函数td等价,其中d为空间维数时,所有讨论的测度之间只相差一个常数倍。这个倍数由量纲函数与幂函数td之比在t趋于零时的上下极限确定。而当量纲函数和幂函数ts等价,其中s小于空间维数时,一般没有相应的结论。我们也给出了相应的反例。证明中主要使用了分析中关于测度的密度的相关理论,并将这些理论推广到由量纲函数诱导的测度上。在第三章,我们给出了数的β展式周期的刻画。结论如下:设x∈Q（β）有严格周期的β展式,这里β是一个二次Pisot单位。则此展式的周期可由一个与β和x都相关的线性递归序列来决定。更具体的说,x的β展式的周期与相关线性递归序列模特定的整数后所得序列的周期重合,而此整数由x与β唯一决定。特别的,当β= （√5+1）/2为黄金数时,β展式的周期将由著名的Fibonacci序列来决定。在这个纯数论的问题的解决过程中我们使用了动力系统以及Tiling理论这两个重要工具。在第四章,我们用[59,60]发展的极大模式复杂度理论给出了高维周期词的一个刻画。这个结论是[63]二维周期词相关结果的推广。其中对单调词情形的证明是一个主要难点,原文的思想不能解决这个问题。我们通过引入解析型的概念,并使用拓扑的工具完全解决了这个问题。