【摘 要】
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许多数学、物理、生态学等学科产生的非线性方程问题都能归结为求相应微分方程的解,那么解的存在性就是一个不可回避的问题,研究的方法也有很多,其中重要的方法之一就是变分法,即求具有变分结构的微分方程的解可转化为去寻求相应泛函的临界点.最近几十年,在对该领域的研究中,人们结合飞速发展的大范围变分理论即临界点理论,已经取得了许多深刻的结果.本文利用变分法并结合临界点理论中的极大极小原理以及相关的山路引理研究
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许多数学、物理、生态学等学科产生的非线性方程问题都能归结为求相应微分方程的解,那么解的存在性就是一个不可回避的问题,研究的方法也有很多,其中重要的方法之一就是变分法,即求具有变分结构的微分方程的解可转化为去寻求相应泛函的临界点.最近几十年,在对该领域的研究中,人们结合飞速发展的大范围变分理论即临界点理论,已经取得了许多深刻的结果.本文利用变分法并结合临界点理论中的极大极小原理以及相关的山路引理研究了三类六阶非线性微分方程周期解的存在性与多重性以及同宿轨道解的存在性.主要内容如下：（1）运用极小化定理和Clark定理研究了满足边界条件u（0）=u"（0）=u（iv）（0）=0, u（L）=U"（L）=u（iv）（L）=0.的一类六阶周期半线性微分方程u（vi）+Au（iv）+Bu"+a（x）u－b（x）u3=0 （Ⅰ）的多重非平凡解的存在性.其中正常数A,B满足不等式A2<4B,a（x）和b（x）是R上连续正的2L-周期函数.（2）研究了一类六阶半线性微分方程u（vi）-Au(iv0+Bu"-a（x）u-Fu（x,u）=0 （Ⅱ）其中,A,B>0,F（x,u）∈C（R×R）,0<a（x）∈C（R×R）.F（x,u）为非负的超二次位势满足条件Fu（x,u）=o（│u│）（u→0）和Fu（x,u）/│u│→∞（u→∞）,再加其他的一些假设,利用Robinowitz型山引理证明了方程非平凡周期解的存在性.（3）用Brezis-Nirenberg型的山路引理一类六阶周期半线性微分方程u（vi）+Au（iv）+Bu"－Cu+Fu（x,u）=0 （Ⅲ）同宿轨道的存在性,正常数A,B满足不等式A2<4B,C>0,且F（x,u）为非负的超二次位势函数且满足一些必要的假设条件.
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