第一部分研究了动力系统中的同宿跟踪及其在混沌动力系统中的应用。横截同宿点的存在蕴含着斯梅尔马蹄意义下的混沌的出现。近二十年来，随着计算机辅助技巧的迅速发展，伪轨跟踪理论被广泛地应用于证明横截同宿点(从而混沌)的存在性。本文给出了严格建立周期轨(包括不动点)的横截同宿轨线的一般方法。考虑了一类定义在高维欧氏空间Rn上的C1Lip微分同胚，借助伪轨跟踪技巧和指数二分理论，证明了此类系统中横截同宿点的存在性，从数学上严格证明了该类系统中混沌的存在性。首先，建市了弱连接伪轨的连接跟踪定理，证明了当所考察的微分同胚存存连接两条弱周期伪轨的弱连接伪轨时，跟踪该弱连接伪轨的横截连接真轨的存在性，并指出该横截连接真轨连接的两条周期真轨分别跟踪原来的两条弱周期伪轨。同时，证明了上述结果在做适当的修正之后对渐近周期伪轨情形也是成立的。随后，建立了弱连接伪轨的同宿跟踪定理，证明了跟踪它的横截同宿轨线的存在性，从而给出了系统存在混沌的严格数学证明。目前文献中现有的结果考虑的均是周期伪轨情形。但由于在现实生活中，更多的现象不是严格周期的，所以不同于以往的方法，考虑了更一般的非周期情形，从而极大地推广了原有的结果。　　 第二部分内容属于斜积半流的几乎周期与几乎自守动力学范畴。首先，研究了一类具有极小非远离摹流的单调斜积半流，分析了其ω-极限集的1-covering性质。在单调斜积半流存在一个半连续的半平衡的前提之下，证明了一致稳定且相对紧致的正半轨线的ω-极限集具有1-covering性质。特别地，证明了由诱导平衡所生成的基流的几乎自守扩充与其相应的ω-极限集是重合的，从而是基流的拷贝。对单调凸的斜积半流，还证明了轨线的渐近性态。在单调斜积半流的基流是几乎周期的情形，结果表明系统几乎周期解的存在性及其邻近解的渐近几乎周期性质。考虑到平衡尤其是连续平衡在理解系统的全局动力学方面所起的重要作用，对一般的(未必是单调的)斜积半流，给出了平衡与连续平衡存在的充分必要条件及其几何刻画。值得注意的是，目前这方面的工作均是针对单调半流给出的。同时，还研究了单调斜积半流的连续平衡之间的序关系，给出了它们成立的充分必要条件。对于最终强单调的斜积半流，证明了严格有序与强有序事实上是等价的。