本文研究了两个问题.一个是热方程当控制器是可测集时的能控性及能控性理论在数据同化(Data assimilation)中的应用.另一个是唯一延拓性问题,包括弹性力学方程组当系数为Lipschitz连续时的弱唯一延拓性和强唯一延拓性,以及与之相关的弹性波方程的弱唯一延拓性问题.　　全文共分五章.　　在第一章中,我们将研究热方程的能控性问题.当控制器是开集时,发展方程的能控性问题已经研究得比较清楚了.本文将要讨论的问题中控制器是一般可测集.以往传统的方法,比如谱分析方法或者通过Carleman估计推导能观不等式的方法,都不再适用于这一问题.为解决该问题,必须寻找新的方法.当空间维数为一维时,我们利用控制转换(Control Transmutation)的方法给出了控制器为可测集,热方程的零能控性.对于高维的情形,我们利用Harnack不等式得到了热方程对所有L2可积的非负初值成立的能观不等式.　　在第二章中,作为第一章研究方法的一个运用,我们将研究一维热方程的数据同化问题.有别于Puel[60]的假设条件,我们假设仅能测量区域内一点在时间段(0,T0)内温度的变化情况.我们给出了一个估计整个区域在(T0,T)内温度分布的方法.因为仅仅知道空间中一点的信息,我们面对的困难与Puel的完全不同.问题的关键是对热方程零能控的代价(即控制函数的能量)如何依赖于控制区域做出精确的估计,我们没有在以往的文献中找到相关的研究.在一维情形,我们通过谱分析和控制转换的方法给出了所需要的估计.由于假设的观测条件不同,我们得到的结果也与Puel不同,Puel构造的是精确解,而我们得到的是热方程解的近似估计.我们认为我们研究的问题更加贴近实际情况.　　我们从第三章开始研究唯一延拓性问题.　　在第三章和第四章中,我们将研究线性弹性力学系统(Lamé系统)的唯一延拓性问题.三维空间中,带有C0,1(Lipschitz连续)系数的Lamé系统的三球不等式和强唯一延拓性是两个公开问题,最近分别由我们和林景隆等学者[39]各自独立解决.但是二者的方法并不相同,本文我们将介绍自己的方法,及该方法的其他应用(比如本论文的第五章).首先,为证明三球不等式,不同于传统的证明频率函数单调性的方法,我们采用Higashimori[23]的想法,利用Eller[11]给出的Carleman估计证明条什稳定性(Conditional Stability),然后再以此来证明三球不等式.其次,与前人(Alexanderini等[1]、林景隆(C.L.Lin)等[39])的方法不同,为了证明强唯一延拓性,注意到三维空间中Lamé算子可以分解成两个一阶算子的事实,我们通过证明这两个一阶算子带有多项式类型的Carleman权函数的Carleman估计,再将其复合得到我们需要的Lamé算子的Carleman估计,最后借鉴Regbaoui[61]的方法证明了Lamé系统的强唯一延拓性.　　第五章是第四章证明方法的延伸.在第五章中,注意到弹性波算子也可以分解成两个一阶算子,我们利用前述证明Carleman估计的方法证明了弹性波方程的相关估计:然后再以此证明了弱唯一延拓性;最后作为唯一延拓性的一个推论,我们给出了弹性波方程的近似能控性.