本文讨论了K一致凸性、K一致光滑性及二者之间的相互对偶关系，同时也讨论了接近凸性、接近光滑性及二者之间的相互对偶关系。并用单位球的切片刻画了他们的各种性质。进而得到了K-凸性与接近凸性、K-光滑性与接近光滑性的相互关系。简化了俞鑫泰关于K一致凸空间是接近一致凸空间的证明，并且给出了其它K-凸性和接近凸性、K-光滑性和接近光滑之间的关系，得到了一些新的结果。在各种凸性和光滑性的讨论过程中，引入了一些新的概念，并证明了一些等价命题。在第1.1节k-维体积首次引入了KDC的概念；在第1.2节用单位球的切片进行了刻画。然后证明了它是介于KUC和KSC之间的一种凸性。进而说明了KDC作为KSS的对偶性质比KSC更为恰当。同时也证明了苏雅拉图在文献[27]中定义的KSC与何仁义在文献[13]中定义的KSC是一致的。并且从定义和一些定理导出了如下关系：在研究KUC和KUS的相互关系时，我们证明了LKUC和LKUS是一对对偶的概念。得到了一个重要的推论：若X~(**)是LKUC，则X是自反的。在文章的第二部分，讨论了接近凸性和接近光滑性。