论文部分内容阅读
华林-哥德巴赫问题研究把满足一定同余条件的自然数N表示为素数的k次幂之和的可能性,即关于方程N=pk1+pk2++pkj的可解性,其中j依赖于k.
对于三次华林-歌德巴赫问题,华罗庚[4]证明了,任意足够大的奇整数N可以表示为9个素数的立方和,并且证明了不超过z的满足一定同余条件且不可表示成j个(5≤j≤8)素数立方和的正整数的个数Ej(z)《z(logz)-A,其中A＞0是任意常数.
这一结果后来被很多人改进,最好的结果是Kumchev[5]的证明,他证明了,当5≤j≤8时,Ej(z)《zθ,其中θ5=79/84,θ6=31/35,θ7=17/28,8θ=23/84.
本文研究将pj限制在小区间上的情况,即{N=p31+p32++p3j,|pi-3√N/j|《U,1≤I≤j.(0.1)对于j=5,6,7,8,定义Aj如下:{A5:={N∈N:N≡1(mod2),N≠0,4±2(mod9),N≠0(mod7)},{A6={N∈N:N≡0(mod2),N≠±1(mod9)},{A7:={N∈N:N≡1(mod2),N≠0(mod9)},{A8={N∈N:N≡0(mod2)}.(0.2)
记Ej(X,U)为[X/2,X]中满足上述同余条件且不能写成(0.1)的整数N的个数,本文将证明如下定理:
定理1.1.对于任意固定的ε＞0,U=Uj=X4(j+1)/15j,有Ej(X,U)《X2/3U1-ε,j=5,6,7,8.(0.3)
对于二次华林-哥德巴赫问题,华罗庚证明了任意足够大的满足N≡5(mod4)的整数可以表示为5个素数的平方和.并且证明了不超过z的满足一定同余条件且不可表示成4个素数平方和的正整数的个数(E)(z)《z(logz)-A,这里A是仟意的正数.
考虑小区间上的相应问题{N=p21+p22++p2j,{|pi-√N/j|《U,1≤I≤j.(0.4)
记(E)j(X,U)为[X/2,X]中满足一定同余条件且不能写成(0.4)的整数N的个数.当j=4时,吕广世和翟文广证明了对满足同余条件N三4(mod24)的正整数N,(E)(X,U)《(√XU)-1-ε对U=U4=X21/50成立.
本文将考虑j=3的情形.记(E)3(X,U)为[X/2,X]中满足同余条件N≡3(mod24),5(|)N且不能表为(0.3)的正整数N的个数,我们将证明如下定理:定理1.2.对于任意同定的ε＞0,U=U3=X13/30,有(E3)(X,U)《(√XU)1-ε.