光滑粒子流体动力学（smoothed particle hydrodynamics, SPH）方法是一种完全无网格的粒子法，现如今已成功应用到科学和工程等众多领域中。光滑粒子流体动力学（SPH）方法的优点在于对流项直接通过区域内粒子的运动进行模拟，不需要网格，免去因网格生成而带来的麻烦，且可以消除自由界面上的数值发散，方便地模拟具有大变形的流动问题，成功避免了网格扭曲与网格重构带来的不便。　　本文首先对光滑粒子流体动力学（SPH）方法的基本思想做了简介。其次介绍了SPH方法中几种比较常见的核函数。但这些核函数在高阶求导后光滑性不是很好，导致计算的精度降低。在本文中，我们在利用狄拉克函数对函数磨光的基础上，引进了一类新核函数，并称之为?-核函数。然后在此基础上给出了用?-核函数解决数值模拟的算例，并把它与其他核函数作了比较，验证其可用性。具体内容如下：　　（1）论述了SPH方法的基本思想，说明SPH方法是一种完全无网格、自适应性强、稳定的Lagrange性质的方法。然后对SPH方法的基本方程做了重点阐述：首先介绍了运用SPH方法的两个步骤，一是函数的积分表示，二是粒子近似；其次介绍了区域内场函数各阶导数的积分表示，表明在SPH方法中，函数f( x)的导数在点x的值可转化为 f( x)与核函数W相应阶导数的卷积来确定；最后介绍了SPH公式中导数的离散技术，很好地说明了SPH方法的核近似和粒子近似过程中函数求导的方法。　　（2）详细介绍了核函数的构造方法，并介绍了几种常见的核函数，比如高斯核函数、B-样条核函数。然后通过引进Heaviside函数，对磨光后的Heaviside函数H?求导后给出满足SPH方法权函数条件的新形式的权函数，我们称之为?-核函数，并记为W?(R)。同时介绍了Tikhonov正则化的技巧，为后面用SPH法求解离散后的线性方程组提供了良好理论基础。　　（3）在上面的基础上比较了三种不同核函数在求解微分方程时的误差，得出?-核函数有更良好的光滑性，精度更高，从而有更好的实用价值。在二维空间下，我们试着用?-核函数去解椭圆方程，也同样验证其可用性。通过在一维、二维情况下数值解与解析解的比较分析，验证了?-核函数的可用性，并实现了从应用的角度对SPH数值算法的验证，为今后解决更复杂的流体力学问题奠定了基础。