概率论是研究大量随机现象的规律性的一门数学学科.概率论极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其他分支和数理统计的重要基础.因此，研究极限理论具有重要的意义.马尔可夫链是一类特殊的随机过程，它目前已成为内容非常丰富的一个数学分支.学者们对齐次马氏链的研究已经相当成熟，并形成了完整的理论体系，而非齐次马氏链至今仍是有待深入研究的重要论题.树指标马氏链是树图与马尔可夫链相结合而产生的一个新的理论体系，是一类重要的树指标随机过程.近年来，树指标马氏链的研究引起了概率论、计算机、物理学等学科的广泛关注.因此，研究树指标马氏链具有重要的意义.
　　本论文对非齐次马氏链的极限定理，树指标马氏链的若干极限定理以及随机环境中Cayley树指标马氏链的极限定理等几个方面进行了研究，主要研究内容如下：
　　1.研究了可列非齐次马氏链延迟平均的强极限定理.首先，在已有关于可列非齐次马氏链的广义C-强遍历性和广义一致C-强遍历性的概念及定理的基础上，研究非齐次马氏链的广义C-强遍历性在信息论上的应用，即研究了非齐次马氏链在一定条件下广义熵率的存在性.其次，根据延迟平均的特点，利用Markov不等式和Borel-Cantelli引理证明了非齐次马氏链二元函数族的强极限定理.最后，由于研究的对象是可列非齐次马氏链，可列和与极限的运算不能交换，所以反复利用条件期望的平滑性证得非齐次马氏链二元函数延迟平均的强大数定律.
　　2.研究了可列状态空间中Cayley树指标马氏链延迟和的强大数定律.首先，证明了Cayley树指标马氏链关于二元函数延迟和的一个强极限定理；然后，得到了Cayley树指标马氏链状态出现频率的延迟和的强大数定律，作为推论,得到了Cayley树指标马氏链状态出现频率的强大数定律.
　　3.研究了二叉树指标随机场关于非齐次分枝马氏链的一类强偏差定理.通过引入渐近对数似然比作为二叉树指标任意随机场与分枝马氏链之间偏差的一种度量,通过构造鞅的方法,获得了二叉树指标随机场关于非齐次分枝马氏链的一类强偏差定理,推广得到了二叉树指标非齐次分枝马氏链的强大数定律和渐近均分性.
　　4.研究了二叉树指标非齐次分枝马氏链的广义熵遍历定理.首先，证明了树指标非齐次分枝马氏链二元函数延迟和的强极限定理；然后，得到了二叉树指标非齐次分枝马氏链状态出现频率延迟和的强大数定律及广义熵遍历定理.
　　5.在已有的取值于可列状态空间的随机环境中树指标马氏链的定义的基础上，研究了随机环境中树指标马氏链的实现，并且证明了马氏环境中Cayley树指标可列马氏链的强大数定律和Shannon-McMillan定理.