第一部分考虑辛算法的稳定性问题。辛算法的线性稳定性关注椭圆平衡点的稳定性，是以平面谐振子方程作为试验方程，研究产生稳定的数值解的时间步长集合(称之为算法的线性稳定域)一通常是实数轴上的一个闭区间(可能是全直线)或一些闭区间的并。此问题已有人做过研究，得到了一些有趣的结果[70，82]。本文研究非线性稳定性，特别是双曲平衡点及其同宿/异宿轨在辛算法作用下的保持和破坏情况。选择有一个同宿轨的平面非线性Hamilton系统为试验方程。辛算法作用于试验方程后，得到以时间步长为小参数的扰动离散系统。通过计算其对应的截断修正方程同宿轨的临界状态(即同宿轨分裂时的时间步长取值)来刻画此辛算法的非线性稳定域的边界。进而研究了辛算法非线性稳定性与线性稳定性的密切联系，初步结论是：线性稳定域大的算法其非线性稳定域也大。　　 第二部分研究辛算法应用于一个平面Hamilton系统时，过双曲平衡点的同宿轨附近数值混沌区域的宽度,应用Fontich[20]，Fontich-Sims[22]，Lazutkin-Gelfreich[27]等的方法和技术，结合辛算法的有关理论，证明了一类Hamilton系统经辛算法离散后，由同宿轨分裂出的稳定流形和不稳定流形经横截相交围成的区域的宽度上界关于时间步长指数小。结合KAM定理[65，67，69]，得知，当辛算法作用到一般的Hamilton系统时，虽然会出现混沌现象，但是混沌区域在相空间中只占据相当小的部分。　　 第三部分对R3上的Lie-Poisson系统，构造Poisson积分子。对一些特殊的Poisson系统，例如常Poisson系统，部分保持辛结构的辛几何算法仍然会保持其Poisson结构[10]，但大多时候结论是不成立的。主要是找出相应的非线性变换把一个Lie-Poisson结构变成—个常Poisson结构，再根据保常Poisson系统Poisson结构的算法构造所需的Poisson积分子。