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快速多极边界元法(FM-BEM)是快速多极展开法(FMM)与边界元法(BEM)相结合产生的。FMM法是基于球谐函数在空间中的多极展开，并采用递归算法结构使计算量级降为O( N)阶的一种近似计算方法。在BEM的实现过程中，一个很关键的部分就是对最终形成线性方程组的求解。Krylov子空间的广义极小残余算法(GMRES(m))就是比较有效的求解器。但由于在执行GMRES(m)算法时，参数m一旦确定，则在整个迭代过程当中将保持不变。所以，参数m的选择成为影响算法有效执行的主要因素之一。基于此，论文在以下几个方面进行了深入研究： 首先，对位势问题Legendre级数多极边界元法进行了研究。分析了Legendre级数展开多极边界元法求解三维位势问题的截断误差，给出了Legendre级数展开多极边界元法的远近场划分准则，证明了截断误差与截断项数和划分半径有关，并给出了位势问题基本解的截断误差表达式。这在实际的计算中发挥着重要的作用。 其次，通过深入研究 GMRES(m)算法的基本思想，提出了一种变参数重启动GMRES(m)算法，即VRP-GMRES(m)算法。该算法通过适当的改变GMRES(m)算法中的重启动参数m，成功地解决了执行GMRES(m)算法时因参数m选择不当而造成的迭代停滞问题。将该算法作为FM-BEM的求解器求解了三维弹性问题，结果表明VRP-GMRES(m)算法是可行的、有效的。 最后，将Householder变换运用到GMRES(m)算法中，并结合变参数重启动，提出一种新的重启动VHGMRES(m)算法，利用残余向量 m?1r在rm上的投影，从理论上证明了新算法不仅收敛，而且计算精度更高，同时给出数值算例加以验证。