【摘 要】
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在过去的三十年中,人们对有限环上的码进行了广泛的研究.由于R2（a,m,-1）=（?）是极大理想为的链环,因此GR（2a,m）上长为2a的重根负循环码得到了完整的描述.进一步,这些结果被推广到了GR（2a,m） 上长为2a的重根入-常循环码,其中入是GR（2a,m）中形如4z-1的元素,z∈GR（2a,m）.具有定义集的迹码的概念已从有限域推广到了有限环,并且通过选取不同的定义集我们可以
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在过去的三十年中,人们对有限环上的码进行了广泛的研究.由于R2（a,m,-1）=（?）是极大理想为<x+1>的链环,因此GR（2a,m）上长为2a的重根负循环码得到了完整的描述.进一步,这些结果被推广到了GR（2a,m） 上长为2a的重根入-常循环码,其中入是GR（2a,m）中形如4z-1的元素,z∈GR（2a,m）.具有定义集的迹码的概念已从有限域推广到了有限环,并且通过选取不同的定义集我们可以得到许多有限域和有限环上的线性迹码.本文主要研究环上不同类型线性码（γ-常循环码、迹码、重根码）的极小Hamming距离和重量分布.在第三章,我们研究了环Rp（a,m,γ）=（?）的结构,其中γ是GR（pa,m）中的单位,还得到了环Rp（a,m,γ）为链环的充分必要条件.进一步,我们得到了环Rp（o,m,γ）为链环时GR（pa,m）上长为pa的重根γ-常循环码的结构并给出了自正交码和自对偶码存在的充分必要条件.此外,对于任意素数p,我们通过Rp（a,m,γ）的结构得到了上述γ-常循环码的Hamming距离和齐次距离.在第四章,我们定义了环R= Fq+uFq 上定义集为L = CO（e,qm）+Fqm1+ 的迹码C（q,e,m,m1）,其中e整除q-1且CO（e,qm）是Fqm中阶为e的分圆类..同时,我们给出了在gcd（e,m）的取值比较小的情况下,这些码的Lee-重量分布.并且,当gcd（e,m）=1时,码的Gray像可以达到Griesmer界,并且在一些很少的情况下,对于给定的长度和维数,他们的Gray像是最优码.当gcd（e,m）=2,3或4时,我们构造了一类新的最多有五个重量的迹码.在第五章,我们给出了环R = Fpm + uFpm上所有长为ps的循环码的极小Hamming距离.另外,我们建立了一个R上的循环码和α-常循环码之间的保距同构,其中α ∈ Fp*.由此,我们得到了环R上所有长为ps的α-常循环码的极小Hamming距离.
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