非线性泛函分析是现代分析数学中的一个非常重要的分支.它的主要理论有锥理论、拓扑度理论、不动点理论等，它研究非线性问题的方法主要有半序方法、变分方法、拓扑度方法等.这些理论和方法为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了有效的理论工具，在处理实际问题所对应的各种数学模型，如非线性微分方程、非线性积分方程和偏微分方程中发挥着重要作用.国内外许多著名的数学家，如H.Amann[51]，K.Deimling[52]，张恭庆，陈文塬教授，郭大钧教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了辉煌的成就.　　 本文主要利用非线性泛函分析的方法研究几类高阶微分方程边值问题，特别是高阶奇异边值问题.奇异边值问题来源于非线性光学、流体力学、边界层理论等应用学科中，它一直受到科学工作者和其它科学工作者的广泛关注.近年来，奇异边值问题解的存在性、唯一性、多样性得到了广泛的研究(见文及其所附参考文献).　　 本文的目的是在已知文献的基础上，利用拓扑度理论、不动点指数理论等更进一步深入研究高阶奇异边值问题.　　 全文共分四章：第一章绪论，我们简要介绍了非线性奇异边值问题的相关背景和本文的主要工作.第二章我们研究了非线性四阶微分方程Sturm-Liouville边值问题解的存在性.利用拓扑度理论，得到了四阶Sturm-Liouville边值问题存在有界解的新的充分条件.有趣的是，我们不仅允许非线性项含有二阶导数与三阶导数，而且允许非线性项变号.第三章利用不动点指数理论研究了四阶奇异Sturm-Liouville边值问题的正解.我们在较弱的条件下得到了四阶奇异Sturm-Liouville边值问题至少有一个正解，至少有两个正解的新结论.第四章研究了n阶常微分方程边值问题解的存在性.我们通过构造有效的积分算子，利用不动点指数理论得到了n阶常微分方程带积分边值条件，及带导数边值条件解的存在性与多解性，所得结果推广并改进了文中的相关结果，而我们的主要结果能够涵盖更广泛的函数类.