【摘 要】
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有限元方法是计算数学中一个非常活跃的研究领域.作为一种有效的数值方法,在过去的五十年中被广泛用于求解各类微分方程.在其基础上,以后验误差估计为核心的自适应有限元方法
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有限元方法是计算数学中一个非常活跃的研究领域.作为一种有效的数值方法,在过去的五十年中被广泛用于求解各类微分方程.在其基础上,以后验误差估计为核心的自适应有限元方法更加提高了计算效率.不但占用较少的内存,而且减少了计算时间并提高了精度,成为解决许多数学物理问题的有效计算方法. 变分不等式是一类重要且十分有用的非线性问题,广泛地应用于物理、工程、金融、管理等学科.著名的Signorini问题属于第一类椭圆变分不等式,描述了弹性体和刚体之间的无摩擦接触.这篇硕士论文旨在探究自适应有限元方法在求解Signorini问题中的应用,研究一种新的思路,对其后验误差估计子的可靠性和有效性进行分析.本文探索的这个思路,较之先前其他文献对Signorini问题的后验误差估计子的研究,有两个优势:1.本文的方法思路更简单明了;2.其思路不但可以推导残量型后验误差估计子,也可以推广到其他形式的后验误差估计. 本文的想法是受到文献[17]中的思想启发.我们把其中对障碍问题的后验误差估计的想法,推广应用到Signorini问题的后验误差估计的可靠性和有效性的分析.这个思路是通过将不等式问题转化为一个等式微分方程的边值问题,通过已有的关于线性椭圆微分方程的后验误差估计的理论,得出该变分不等式问题的后验误差估计的性质.当然,问题可以转化,但困难不能跨越,还是要对其中的难点进行细致的分析.本文推导出了Signorini问题的可靠的残量型后验误差估计子,并对其有效性进行了探索. 文章在第一章绪论中回顾了本文所必须的理论基础:变分不等式、有限元方法和自适应算法.第二章首先对Signorini问题的物理背景进行回顾,然后给出了简化的Signorini问题的数学表达式,并给出其有限元方法的离散形式.紧接着第三章探讨了其后验误差估计子,给出了该估计子的可靠性和有效性分析,这是本文的重点部分.最后一章总结全文,并针对本文所探索的问题及方法提出下一步研究的方向.
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