本篇论文主要讨论了分数阶微积分的特征根解法的情况,考虑了指数函数在Caputo型分数阶微积分下具有时滞项的通解公式,还研究了含有时滞项的Riemann-Liouville型非齐次分数阶微分方程的特征根情况。本篇论文讨论的基础是分数阶微分方程,就是分数阶微积分与经典常微分方程二者的结合,是在常微分方程的特征根求法上的推广。本篇论文的结构作如下安排:第一章,本章节对于分数阶的背景知识点以及研究现状做出了陈述,介绍了相应的分数阶方程的一系列基础知识点并回顾了常微分方程所需的特征根解法的相应引理和定理。第二章,是本篇论文的主要部分,本章节主要运用了指数函数在Caputo导数下的一般形式将其推广到具有时滞的情况,并对于所包含这类函数的齐次方程通过分类讨论的思想研究了其通解的一般形式,章节的最后给出了相应的例子加以说明。第三章,本章节在齐次方程通解的基础上研究了非齐次具有时滞项的Riemann-Liouville型指数函数所在方程的通解情况。通过常微分方程中使用的方法推出这类方程的特解,并根据引理,给出了两种情形下的解的情况,使其解的形式达到统一。