【摘 要】
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张量问题在科学研究以及工程技术的许多领域中有着广泛的应用,研究其理论与数值算法是当前计算数学的热点问题.本文基于现有的研究成果,对张量绝对值方程和张量分裂问题进行详细地理论分析和算法研究.本文主要内容如下:第1章,主要总结了张量绝对值方程和张量分裂问题的研究概况,以及国内外张量问题的研究概况.除此之外,还引入了本文所需要的一些基本知识.本文从数值计算的角度出发,结合数值代数以及优化方法,主要是Le
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张量问题在科学研究以及工程技术的许多领域中有着广泛的应用,研究其理论与数值算法是当前计算数学的热点问题.本文基于现有的研究成果,对张量绝对值方程和张量分裂问题进行详细地理论分析和算法研究.本文主要内容如下:第1章,主要总结了张量绝对值方程和张量分裂问题的研究概况,以及国内外张量问题的研究概况.除此之外,还引入了本文所需要的一些基本知识.本文从数值计算的角度出发,结合数值代数以及优化方法,主要是Levenberg-Marquardt（LM）方法,对包括张量绝对值方程和张量分裂问题的算法进行研究,并证明了所设计的算法的收敛性,同时通过数值实验验证了所提算法的有效性.第2章,首先通过引入互补函数将张量绝对值方程重新构造为张量互补问题,并分析了它的关键性质.针对构造的张量互补问题,设计了自适应非精确Levenberg-Marquardt（LM）算法,并证明了算法在一定条件下具有全局超线性收敛性.其次,提出基于连续时间的神经网络算法（CTNN）来求解一类张量绝对值方程（A-I是强M张量）,后续进行了数值实验,并报告了实验结果.最后通过实验结果可以看到CTNN算法在求解一类张量绝对值方程上效果更好.第3章,在基于第2章理论研究的基础上,将张量绝对值方程重新构造为张量互补问题后需要求解方程系统H（x）=0,其本质上是非线性方程,基于目前非线性方程的求解方法,提出了加速的两步非精确LM算法,并提出利用上一步迭代和当前迭代中函数值的适当凸组合,得到非精确两步LM算法求解张量绝对值方程.从数值实验中可看到本章提出的算法需要更多的迭代次数,但是其单次迭代的时间复杂度较低,因此总体上加速的两步非精确LM算法的效率有一定的提升.第4章,首先介绍了投影的初步知识和性质.通过引入基于张量分裂问题的投影函数,将张量分裂问题（TSFP）转化为约束优化问题,并分析了其关键性质,在此基础上设计了求解张量分裂问题的Levenberg-Marquardt（LM）类算法,接着进一步提出修正的信赖域LM方法（简记MLM）,并证明了所提算法的收敛性.最后进行了一些数值实验,并报告了结果,从实验数据中可看到算法MLM实验效果更好.第5章,对本文的研究工作做了总结,并提出了未来研究工作的设想和亟待解决的问题.
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