论文部分内容阅读
Dirichlet除数函数d（n）=∑n=n1n21，其和函数为D(x)=∑n≤xd(n).它们是数论中非常重要的算术函数，与许多著名的问题密切相关，长期以来人们对其作了大量研究.本文将关于其两个推广形式给出一些结果. 记d(n;r1，q1，r2，q2)为满足n=n1n2，ni≡ri(mod qi)(i=1，2)的分解个数.假定x≥（q1q2）1+ε，1≤ri≤qi，（ri，qi）=1(i=1，2），令Δ(x;r1，q1，r2，q2)为d(n;r1，q1，r2，q2)的和函数的余项.本文给出了Δ(x;r1,q1，r2，q2）的均值和符号变换的一些估计，并证明了存在一个充分大的常数C，对于任意一个非常大的常数T，Δ(q1q2x;q，q1，r2，q2)在区间[T，T+C√T]内变号，同时，对于一个非常小的常数c，区间[T，2T]内存在无穷多个长度为c√T log-7T的小区间，使得±Δ(q1q2x;r1，q1，r2，q2)＞c5x1/4恒成立. 记S(x;a1/q1，a2/q2）=∑mn≤xcos（2πma1/q1）sin（2πna2/q2），其中x≥（q1q2）1+ε，1≤ai≤qi，（ai，qi）=1(i=1，2）.通过将其与带同余条件的除数函数相联系，得到它的上界及一些均值估计.在此基础上，又对S（x;a1/q1，a2/q2）的符号变换做出估计，证明存在一个充分大的常数C，对于任意一个非常大的常数T，S（x;a1/q1，a2/q2）在区间[T，T+C√T]内变号，同时，对于一个非常小的常数c，区间[T，2T]内存在无穷多个长度为c√Tlog-7T的小区间,使得±S（t;a1/q1，a2/q2）＞c5(q1q2)3/4t1/4总成立.