作为两个历久弥新的重要学科,凸几何分析与信息论长期以来两者之间似乎并无任何联系。一个重要的突破来自于Cover和Thomas的工作,率先证明了Brunn-Minkowski不等式与熵幂不等式（Entropy power inequality）之间的联系,并给出了著名的Brunn-Minkowski不等式与Entropy power inequality的公共证明。随后,表面积与熵之间的联系也被建立了起来。这些工作打开了这两个重要学科之间的联系研究的一个重要窗口,越来越多的本质联系引发了大量的研究,基于信息论的广泛应用,这些联系的重要性不言而喻。这些本质联系将为不论是凸几何还是信息论的研究提供了一种极其重要的途径。众所周知,等周不等式在分析和几何中都扮演着极其重要的角色。最著名的例子是经典等周不等式和索伯列夫不等式之间的等价关系。事实上,等周不等式与经典Fisher信息不等式也是等价的,这一发现将对凸几何与信息论之间的本质联系产生广泛而深远的影响,这也是本论文的研究动机所在,这一联系促使我们讨论信息论中一些加强的不等式并将在信息论中产生新的应用。本论文第一章简单介绍了凸几何分析与信息论这两门学科的发展历程与研究情况以及两者之间的联系。第二章介绍了Lutwak, Yang, Zhang在这领域的工作及发展方向,给出了等高分布的结果与椭球的结果的对应关系,并阐述了他们的Entropy-Renyi不等式,Fisher信息不等式,以及Cramer-Rao不等式。第三章在给出Brunn-Minkowski不等式与Entropy Power不等式分别在凸几何学与信息论中的重要地位的基础上,重点了介绍了一个著名的Brunn-Minkowski不等式与Entropy Power不等式的公共证明。第四章,我们主要研究并推出当1≤p < n时, L p Petty投影不等式是完全等价于积分仿射-Fisher信息不等式的。