论文部分内容阅读
本论文主要研究rs(n)的同余性质,与Weil估计有关的一个等式,得到的主要结果如下:
(一)设s,n都是正整数,定义rs(n)=＃{(x1,x2,…,xs)｜x21+x22+…+x2s=n,xi∈Z}。
2005年,Wagstaff应用置换群研究了rs(n)的同余性质.2010年,陈士超应用rs(n)的生成函数又研究了rs(n)的同余性质,并且推广了Wagstaff的结果。
在本文中,用初等的组合的方法给出已有结果的一种新的证明方法,并且得到一些新的结果(该论文已被International Journal of Number Theory,录用):
定理2.1.设n,s都是正整数,s=2ks1,2｜s1,k是一个非负整数,则注2.1.若k≥1,则2s(s-1)≡2s(mod2k+2).由于2s≡2k+1(mod2k+2)恒成立,因此定理2.1中k≥1的情况和陈士超[11]文中的结果是等价的。而k=0的情况在Wagstaff[10]和陈士超[11]的文中都未出现。
定理2.2.设n,s都是正整数,则rs(n)≡0(mod2s/(s,n)).注2.2.由定理2.1可得定理2.2等价于[11]中的nrs(n)≡0(mod2s)。
定理2.3.设n,s都足正整数,p是一个素数并且满足p｜n,则(a)rs(n)≡rs/p(n/p)(mod p),p｜s；
(b)rs(n)≡rs/p(n/p)(mod p2),p2｜ s,P≥3；
(c)rs(n)≡rs/p(n/p)(mod p3),p3｜s,p≥5.
(二)设a,b都是正整数,p是一个奇素数。
2009年,Y.He,Q.Liao在数论杂志中发表了一篇文章,文章中证明了下面的结果:
在本文中,运用不同的方法,给出了下面一个与Weil估计有关的更一般的结果(该论义已被四川师范大学学报录用):
定理3.1.设u,v,w都是正整数,p是一个奇素数并且满足p｜w,则而且证明过程非常简单。