矩阵的求根同题已经成为矩阵研究领域的热点之一，同时，在实际工程应用中，如何方便快速地判断矩阵A是否存在平方根矩阵以及求解平方根矩阵具有重要的现实意义.本文主要讨论的是矩阵方程Xm=A，特别是m=2时该方程的根的相关问题.矩阵方程Xm=A虽然与数量方程xm=a在形式上接近，但是，在根的存在性、唯—性、以及解的结构和性质方面都有很大的差别，因此不能将数量方程的相应结果简单地对应到矩阵方程上来，比如，数量方程xm=a在复数域内一定有解，但是对于矩阵方程Xm=A而言，在复数域内却不一定有解，即使有解，也不一定是有限个，其非零解甚至还可能是幂零的，等等([11]).实际上，数量方程只是矩阵方程的—种特殊情形. 因此，近几十年来，关于实矩阵或复矩阵的平方根矩阵同题，众多学者对其做了很多有意义的研究，得到了许多有价值的结果.本文系统地讨论了矩阵开平方的有关同题，介绍了这方面研究的相关结果，利用Jordan标准形理论得到了复矩阵存在平方根的相应条件，求根的算法以及根的个数等，并将相关结论推广到矩阵的m次根；最后，还对一组特殊矩阵-循环矩阵的开平方同题进行了研究。本文共分三章： 第一章：为引言部分，就本文背景、国内外研究现状和相应的结果、并阐述了本文的主要工作. 第二章：利用Jordan标准形理论，讨论Jordan块矩阵能开平方的充要条件，平方根矩阵的个数，以及如何求解平方根矩阵.在此基础上，进一步引进矩阵多项式的概念，同时对矩阵多项式的开平方同题进行研究，包含并推广原有的结论. 第三章：对一组循环矩阵的开平方运算进行研究，不通过持征值的计算，直接给出各个循环矩阵的开平方运算的快速算法，以及其平方根矩阵的个数和时间复杂性，同时，还将给出其主平方根矩阵的精确解.