【摘 要】
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由于时滞现象的存在,时滞偏微分方程模型有着广泛的应用背景,如生物,化学,工程控制,神经网络等领域.而时滞项的加入,使得这些方程的理论解往往很难获得,即便很简单的线性时滞偏微分方程,能够获得理论解的也是屈指可数.因而数值求解不仅能够让我们对这些方程的理论解的性态有直观清晰的认识,更为生产生活实践提供了重要的参考.本文着重介绍了几类时滞偏微分方程的紧致差分方法的构造及其相应数值格式的理论分析.第二章我
【基金项目】
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国家留学基金;国家自然科学;湖北省自然科学;；
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由于时滞现象的存在,时滞偏微分方程模型有着广泛的应用背景,如生物,化学,工程控制,神经网络等领域.而时滞项的加入,使得这些方程的理论解往往很难获得,即便很简单的线性时滞偏微分方程,能够获得理论解的也是屈指可数.因而数值求解不仅能够让我们对这些方程的理论解的性态有直观清晰的认识,更为生产生活实践提供了重要的参考.本文着重介绍了几类时滞偏微分方程的紧致差分方法的构造及其相应数值格式的理论分析.第二章我们主要针对一维和二维非线性时滞双曲偏微分方程构造了一类紧致差分格式,分析了格式的收敛性和稳定性,并利用Richardson外推的方法将数值格式提升至空间和时间均为四阶精度.在第三章中,基于Crank-Nicholson格式,将紧致差分格式应用于二维多时滞抛物型偏微分方程,推导了一类线性化的紧交替方向的差分格式,分析了格式的收敛性和稳定性.数值实验证实了格式的有效性.第四章,我们将紧致差分格式用来求解一维和二维中立型的时滞抛物型偏微分方程,证明了相应的数值格式在L2-范数下的稳定性,并用数值实验预测了格式的收敛阶.第五章,我们处理了一类常系数非线性时滞对流反应扩散方程,首先通过引入一类变换方法,消去了对流项,然后再基于二阶向后微分公式针对变换后的方程构造了一类新的线性化的紧致差分格式,并将该格式应用于求解几类具体的模型问题.在此格式的基础上,利用Richardson外推的方法进一步提升了计算的效率.第六章,首先是将第五章的思想应用于求解Non-Fickian时滞反应扩散方程,其中积分项的离散主要基于复合的数值求积公式.然后与几类已有的算法从计算精度及其计算时间上进行了比较,发现本章的数值格式是高效而实用的,最后将文中的算法应用于模拟一些具体的模型方程.第七章对本文的主要工作和将来的研究内容做了简要的总结.
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