在复平面上研究分式线性变换群的离散子群，以及多项式、有理函数和迭代函数系统的动力系统已经有很长的历史了。最近数学研究的热点是将相应的理论建立在p-adic有理数域Qp和Qp的代数闭包的完备化p-adic复数域Cp上。非阿基米德域的超度量性质使得在Qp和Cp上部分理论的建立相对较易，但是一般来说，很多理论的建立却是更加困难的，因为Qp是完全不连通的，且非代数闭的，而Cp虽然是代数闭的，却是非局部紧的和完全不连通的。　　 论文的第一部分是SL(2，Cp)上的离散群和离散群的Jorgensen不等式。非阿基米德域上的离散群的研究是众多数学家和数学工作者感兴趣的课题。Cp上的2维特殊线性群SL(2，Cp)的离散子群对研究以Mumford曲线为覆盖空间的代数曲线的过程中起到了至关重要的作用，例如p-adic Schottky曲线。许多数学家诸如Mumford，Gerritzen，Manin，Myers，Marius，Voskuil，Kato和Cornelissen等人为此做了很多重要工作。具体可以参考[39，40，41，68，89，96，97]。　　 在[68]中，Kato将SL(2，Cp)中的元素分成椭圆，抛物，斜驶三类，证明如果子群SL(2，Cp)中的子群G是离散的，那么子群G不含抛物元素和无限阶椭圆元素。本文中将Kato的分类推广到了高维特殊线性群SL(m，Cp)，这里m≥2，并进一步，证明如果SL(m，Cp)的子群G是离散的，那么子群G不含抛物元素和无限阶椭圆元素。在复平面上Klein群理论中有离散群基本定理，即一个非初等群是离散的当且仅当这个群中任何两个元素生成的群也是离散的。对于SL(2，R)，Jorgensen在[66]证明了SL(2，R)中的非初等子群G是离散的当且仅当G中任何循环群是离散的。但是这对SL(2，C)以及高维的特殊线性群一般不成立。然而，在数域Cp上，我们发现对任意维的特殊线性群SL(m，Cp)都可以得到类似结果，即SL(m，Cp)中的子群G是离散的当且仅当G中任何循环群是离散的。这个结论说明Kato以及我们上面所得的结果的逆命题也成立，即SL(m，Cp)中不含无限阶椭圆元素和抛物元素的群是离散的。　　 在复平面的Klein群理论中，我们知道一个群G是离散的，且只含有椭圆元素，那么群G是有限群。我们对Qp以及Qp的有限扩域Kp上的特殊线性群得到了类似的结果，即如果子群SL(2，Kp)子群G是离散子群，且只含有椭圆元素，那么G是有限群。但是上述的结论对SL(2，Cp)的子群一般不成立。我们构造了SL(2，Cp)的子群G，它由无穷多个有限阶椭圆元素组成，但是这个群是离散的。　　 判断SL(2，C)中的非初等子群是离散群的一个必要条件是Jorgensen不等式。Jorgensen不等式在Klein群的代数收敛性，几何收敛性和流形体积控制等方面都有重要应用。例如利用Jorgensen不等式可以证明双曲流形中必含有一个半径有一致下界的球，即双曲流形具有不可压缩性。Jorgensen不等式被推广到各种度量空间，得到了形式各样的Jorgensen不等式，具体可以参考[64，70，72，73，71，92]。在[4]中，Armitage和Parker得到了SL(2，Qp)上的Jorgensen不等式，同时利用SL(2，Qp)中的Jorgensen不等式证明了离散子群中的元素的转移长度有一个一致下界。本文利用SL(2，Cp)子群的离散性准则，得到了SL(2，Cp)以及高维特殊线性群SL(m，Cp)的离散子群的一类Jorgensen不等式。我们的结果在不等式的精度上改进了Armitage和Parker的结果。进一步，我们将利用离散性准则和Jorgensen不等式给出双曲Berkovich空间在离散群作用下的商空间也具有半径有一致的下界的球，即商空间具有不可压缩性。　　 第二部分，我们研究了Cp上SL(2，Cp)的离散子群，迭代函数系统的极限集和有理函数的Julia集的性质。随着算术动力系统的兴起，研究P1(Cp)上有理函数的Julia集，迭代函数系统的极限集，SL(2，Cp)离散群的极限集是最近数学研究中的一个热点。有众多数学家，例如Anashin，Baker，Bézivin，Benedetto，DeMarco，Favre，Fan，Hsia，Khrennikov，Rivera-Letelier，Rumely，Silverman和Wang等人在这个方向做了许多重要的工作，具体可以参考[23，24，42，43，44，45，46，74，75，76，77，78，79，80，106，107，108，110]。　　 在复平面上，Klein群的极限集和有理函数的Julia集分别是离散群几何和复动力系统的重要研究对象。它们有很多相似之处。在复动力系统中，Julia集的一个重要性质是度大于等于2的有理函数的Julia集是斥性周期点的闭包；在离散群几何中，Klein群有一个类似的重要性质，即非初等的离散子群的极限集是斜驶元素斥性不动点的闭包。自然，对Cp上的离散群和有理函数动力系统存在同样的问题。即　　 (1)P1(Cp)上的度大于等于2的有理函数的Julia集是否是斥性周期点的闭包?　　 (2)SL(2，Cp)的非初等离散子群的极限集是否是斜驶元素斥性不动点的闭包?　　 上述两个问题都是尚未解决的公开问题。对于问题(1)，Bézivin在[26]中证明，如果P1(Cp)上度大于等于2的有理函数至少含有一个斥性周期点，那么这个有理函数的Julia集是斥性周期点的闭包。Okuyama在[99]证明如果P1(Cp)上度大于等于2的有理函数的Lyapunov指数为正，那么P1(Cp)上度大于等于2的有理函数的Julia集是斥性周期点的闭包。本文中对问题(2)进行了研究，在附加一定条件下给出了问题(2)肯定的回答。　　 在SL(2，C)的研究中可以通过Poincaré扩张将SL(2，C)中的元素在复平面上的作用扩张到到三维实双曲流形H3={(x，y，t)｜t>0，x∈R，y∈R)上，且SL(2，C)中的元素在三维实双曲流形H3上的作用是等距作用，即SL(2，C)可以看做H3上的等距群。在Klein群中H3上的纯不连续群和离散群是等价的。对SL(2，Cp)，我们也可以将SL(2，Cp)中的元素在P1(Cp)中的作用扩张到射影Berkovich空间上，并且这个作用在双曲Berkovich空间HBerk：=PBerkP1(Cp)的双曲度量的意义下是等距的，即SL(2，Cp)是双曲Berkovich空间HBerk上的等距群。我们定义了HBerk上的纯不连续群，即设G是SL(2，Cp)的子群，如果对任意的x∈HBerk，序列{g(x)}g∈G的任何收敛子列收敛于P1(Cp)中的某个点，则称G是HBerk上的纯不连续群，或者称G在HBerk上的作用是纯不连续的。对于HBerk上的纯不连续群，我们证明了如果群G是HBerk上的纯不连续的，那么群G是离散的。并且，我们证明了如果SL(2，Cp)的非初等群G是HBerk上的纯不连续群，那么群G的极限集是斜驶元素的不动点的闭包。因此，对HBerk上的纯不连续群，我们给出了问题(2)的肯定回答。不过在SL(2，Cp)上，我们给出了一个只含有无穷多个有限阶椭圆元素的初等离散群，却不是HBerk的纯不连续群的例子。因而问题(2)中的“非初等”的条件是必需的，由此，如果SL(2，Cp)的非初等离散子群在HBerk上的作用是纯不连续的，则问题(2)就得到解决。我们证明了SL(2，Qp)()SL(2，Cp)的离散子群在HBerk上的作用是纯不连续的。作为这一结果的应用，我们证明了SL(2，Qp)的非初等离散子群G的极限集都是紧集，这里，G可以是无限生成的。　　 我们定义HBerk的纯不连续群在Berkovich空间上的极限集是HBerk的纯不连续群在P1(Cp)中极限集在Berkovich空间弱拓扑意义下的闭包，记为∧。我们说x∈PBerk是动态稳定的，如果存在x的一个邻域U使得Un≥0{fn(U))取不到PBerk中的无穷多个点。对于HBerk的纯不连续群的Berkovich极限集，我们证明了PBerk＼∧中的点是动态稳定的，但是∧中的点都不是动态稳定的；并且，PBerk＼∧与G的Berkovich等度连续轨迹相同。　　 在复平面上，研究一个集合是否具有一致完全性是一个重要的问题。因为一个集合具有一致完全性，或者一个区域的边界具有一致完全性会使这个集合或者区域具有很多重要的数学性质。具体可以参考[8，100，104，105，111，113，117，125]。在复平面上，度大于等于2有理函数的Julia集是一致完全的，这一结果由Eremenko[47]，Hinkkanen和Martin f60]，以及Mané和da Rocha[88]分别单独证明。在Cp上，我们研究了P1(Cp)上度大于等于2有理函数的Julia集的一致完全性，证明了如果Julia集非空，那么它是一致完全的，进一步，研究了压缩双Lipschtiz强可微和压缩非退化解析迭代函数系统极限集的一致完全性，证明了如果极限集不是单点，则它是一致完全的。国际专家建议我们进一步研究这些集合的doubling性质。因为Cp本身不是一个doubling空间，因而研究Julia集和上述的极限集的doubling性质是十分有意义的。进一步，如果一个集合是一个doubling的，有界紧集，且具有一致完全性和一致不连通性，则它拟对称等价于标准Cantor集。我们证明如果一个度大于等于2的多项式的Julia集是非空紧集，那么这个多项式的Julia集具有doubling性和一致不连通性，因而这个Julia集拟对称等价于标准Cantor集。这个结果对C上的多项式的Julia集一般不成立。对于Cp强可微和解析迭代函数系统的极限集。我们要求迭代函数系统中的函数具有一种分离性，即对迭代系统中任何两个函数f，g都有f(∧)∩g(∧)=0，这里∧是迭代函数系统的极限集，则上述迭代函数系统的极限集具有doubling性质，以及一致不连通性，即它们拟对称等价于标准Cantor集。