差分方程基本理论的研究开始于上世纪60年代.差分方程是数学中一类非常重要的方程，它是研究离散模型的有效方法.由于差分方程在数理科学、生命科学以及社会科学等领域，特别是天体力学，量子力学及生物工程中有着广泛且重要的应用，因而对该领域的研究多年来长盛不衰，而今已成为数学研究中的一个非常富有成果而又生机勃勃的研究方向.　　 无论是在理论上还是在应用上，差分方程的谱问题的研究都具有重要的意义.谱问题分为两类.定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则的谱问题;否则称为奇异的谱问题.1964年，Atkinson[1]首先对离散边值问题进行了研究.1978年，Hinton和L(e)wis[2]研究了奇异二阶差分方程的振动定理、极限点或极限圆的判定原理和最小算子的自伴算子扩张的谱分布.1999年，史玉明和陈绍著[3]研究了向量形式正则二阶差分方程的谱理论.2006年，史玉明和孙华清[4]对耦合边界条件下的二阶差分方程的特征值进行了研究.最近，史玉明和孙华清[5]给出了二阶对称线性差分方程的所有自伴子空间扩张的完全刻画.更多关于差分方程的谱理论的有关研究结果，见文献[6-12].　　 对于正则谱问题的研究，已经形成了比较完整的理论体系，如特征值的性质、特征函数的正交性及展开定理等[1，12].同正则情况相比，奇异谱问题的研究相当困难和复杂，这是因为奇异差分(微分)方程不仅有点谱，还有其它类型的谱点，如连续谱.而正则差分(微分)方程的谱仅由孤立的特征值构成，所以研究起来比较简单.因此自然想到:能否利用正则谱问题的谱逼近奇异谱问题的谱呢？研究该问题不仅具有理论意义，而且为近似计算奇异谱问题的谱提供了一种方法.　　 对于微分算子谱的正则逼近问题，已经有很多学者做了研究，并得到了谱包含和谱准确比较好的结果.1993年，Baily等人[13]研究了实系数二阶对称微分算子谱的正则逼近问题.依据两种极限型的分类，他们利用方程的解给出了三类一般的自伴边界条件，给出最小算子的自伴扩张域.在每一类边界条件下分别构造正则区间上的诱导算子，证明了诱导的正则自伴算子强预解收敛到奇异情况下的自伴算子，由此给出了谱的正则逼近结果.2009年，崔训强[14]研究了极限圆型和极限点型下，一端奇异Hamilton系统谱的正则逼近问题.更多关于微分方程的谱的正则逼近的结果见[15-25]以及它们的一些参考文献.　　 由于信息技术的飞速发展和数字化计算机的广泛应用，出现了很多以差分方程为支撑的数学模型.这吸引了大量学者对其很多方面进行了深入研究，这些研究涵盖了差分方程的定性问题、边值问题、谱分析和自伴子空间理论等.对于对称线性微分方程，在确定性条件下，其最小算子是对称的(即稠定的Hermite算子)，最大算子是单值的，因此可以利用对称算子的谱理论进行研究;而奇异差分方程的最小算子是非稠定的，最大算子是多值的，故不能直接利用经典的对称算子理论进行研究.为了解决这些问题，Coddington，Lesch，Malamud等学者成功地将稠定的Hermite算子的概念和相关理论推广到Hermite子空间.最近，史玉明将经典的GKN理论推广到Hermite子空间[26]，并在此基础上给出了二阶形式自伴差分方程自伴子空间扩张的全部刻画[5].这是奇异差分方程自伴扩张研究的先河.最近，史玉明、邵春梅和任国静对自伴子空间谱的性质进行了研究[27-28]，这为差分方程谱问题的研究奠定了基础.　　 由于差分方程谱理论的研究历史比较短，尽管人们对其进行的研究取得了一系列成果，但仍有许多问题的研究尚不完善.例如，至今还未见有关于奇异差分方程谱的正则逼近的研究结果发表.所以，对该问题的研究不仅在应用上有重要意义在理论上也是对差分方程谱理论的进一步完善.　　 本文主要研究奇异二阶对称线性差分方程谱的正则逼近问题.首先给出了子空间核的概念，并研究了子空间强预解收敛的判定条件，以及谱包含和谱准确的判定条件.然后，利用[5]所给出的二阶形式自伴差分方程的自伴子空间扩张，分别构造相应的诱导正则自伴子空间扩张，来实现谱的正则逼近.　　 本文共分为三章.　　 第一章介绍线性子空间的基本概念及理论和二阶对称线性差分方程的一些基本结果.介绍了子空间的谱包含，谱准确和子空间的强预解收敛的概念及有关结果.在此基础上，我们给出了子空间的核的概念，并给出了判定一般子空间强预解收敛的一个充分条件.同时，我们还给出了谱包含和谱准确的一个充分条件.这些结果是接下来研究奇异二阶差分方程谱的正则逼近问题的重要依据.　　 第二章分别研究了一端奇异情况下二阶对称线性差分方程在奇异点为极限圆型和极限点型下的谱的正则逼近.第一节是引言部分.第二节给出了一端奇异二阶对称线性差分方程在奇异点为极限圆型和极限点型下的自伴子空间扩张，并分别给出了在这两种极限型下诱导的正则自伴子空间扩张.第三节研究了一端奇异情况下二阶对称线性差分方程在奇异点为极限圆型下的谱的正则逼近.构造新的自伴子空间，并证明了所构造的新的自伴子空间和投影算子的图之积强预解收敛到给定的自伴子空间.利用Green函数，证明了新的自伴子空间的预解式和投影算子的图之积依范数收敛到给定的自伴子空间扩张的预解式.最后，利用第一章第二节中的相关结果，证明了在此种情形下，诱导的正则自伴子空间扩张关于给定的自伴子空间是谱准确的.第四节研究了一端奇异情况下二阶对称线性差分方程在奇异点为极限点型下的谱的正则逼近.利用与第三节相类似的方法，证明了所构造的新的自伴子空间和投影算子的图之积强预解收敛到给定的自伴子空间.从而证明了在此情形下，诱导的正则自伴子空间扩张关于给定的自伴子空间是谱包含的.最后，给出一例子说明:在极限点情形下，本文所构造的诱导的正则自伴子空间扩张关于给定的自伴子空间可能不是谱准确的.　　 第三章研究了两端奇异情况下二阶对称线性差分方程谱的正则逼近.第一节是引言部分.第二节给出了两端奇异情况下二阶对称线性差分方程在各种情形下的自伴子空间扩张，并分别给出了在各种情形下诱导的正则自伴子空间扩张.第三节研究了两端点均是极限圆型下二阶对称线性差分方程谱的正则逼近.利用与第二章第三节同样的方法，构造新的自伴子空间，并证明了所构造的新的自伴子空间和投影算子的图之积强预解收敛到给定的自伴子空间.利用Green函数，证明了新的自伴子空间的预解式和投影算子的图之积依范数收敛到给定的自伴子空间扩张的预解式.最后，利用第一章第二节中的相关结果，证明了在此情形下，诱导的正则自伴子空间扩张关于给定的自伴子空间是谱准确的.第四节研究了两端点至少有一个为极限点型下二阶对称线性差分方程谱的正则逼近.利用与第三节相类似的方法，证明了构造的新的自伴子空间和投影算子的图之积强预解收敛到给定的自伴子空间.从而证明了在此情形下，诱导的正则自伴子空间扩张关于给定的自伴子空间是谱包含的.最后，给出一例子说明:当两端点均为极限点型时，本文所构造的诱导的正则自伴子空间扩张关于给定的自伴子空间可能不是谱准确的.