量子群是80年代新兴的数学分支，它起源于量子力学。它与数学的许多分支，如李群、李代数、代数群，Hopf代数、代数几何等都有密切联系，引起了一大批有不同背景的数学家的兴趣，成为近些年国际数学研究的热点之一。广义地说，量子群是一类非交换非余交换的Hopf代数，狭义地说，它是Kac-Moody代数的泛包络代数．通过量子群的表示可以得到Yang-Baxter的解．因此，研究量子群的表示及余表示具有很重要的意义。近年来，用代数方法实现量子群逐渐发展起来，特别地，随着形变预投射代数方法实现量子群研究的深入，该方法在量子群表示的研究上越来越多的显示出了自身的优势。 本硕士论文主要研究形变预投射代数与量子群的表示。首先，给出了顶点由循环群Z<,d>标出的有限循环箭图г的约束箭图的所有不可分解表示，然后给出某些不可分解表示提升为形变预投射代数п<λ>(г，I)单表示的条件及方法，通过已有的п<λ>(г，I)和量子群限制型U<,q>(sl<,2>)之间的Hopf代数同构，得到了U<,q>(sl<,2>)的所有单表示；对于具有两个连通分支，且每个连通分支的顶点可由Z<,d>标出的箭图，给出了其形变预投射代数п<λ>(г，I)的所有不可分解表示，最后利用形变预投射代数的商代数实现q为非单位根时的量子群U<,q>(sl<,2>)和量子超代数U<,q>(osp(1，2))。